数学建模案例.ppt 41页

三个建模示例、建模的方法、步骤、特点、分类，及建模竞赛的相关知识 一、建模示例三、四、五 二、建模的方法 三、建模的一般步骤 四、数学建模的特点 五、数学建模的分类 六、数学建模竞赛的相关知识 【问题背景】 温州七中高一段学生到人民路天桥下的十字路口， 对十字路口红绿灯开设时间及车流量进行调查，经学生分组观察，并把数据平均，得到下面一组数据：东西方向 绿灯即南北方向红灯的时间为49秒；南北方向绿灯即东西方 向红灯的时间为39秒；所以红绿灯变换一个周期的时间为88 秒。在绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：东西方向平 均为30辆，南北平均为24辆。这组数据说明了什么问题？ （红绿灯时间设置合理与否） 【问题抽象】 在红绿灯变换的一个周期时间T内，从东西方向到达十字路口的车辆数为H，从南北方向到达十字路口的车辆数为V，问如何确定十字路口某个方向红灯与绿灯点亮的时间更合理？ 【问题分析】 所谓的合理，应该就是从整体上看，在红绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的滞留总时间最少。【模型假设】1.黄灯时间忽略不计，只考虑机动车，不考虑人流量和非机动车辆；只考虑东西、南北方向，不考虑拐弯的情况。2.车流量均匀。3.一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯的时间相等；东西与南北周期相同。 【建立模型】 设东西方向绿灯时间（即南北方向红灯时间）为t秒，则东西方向红灯时间（即南北方向绿灯时间）为（T－t）秒.设一个周期内车辆在此路口的滞留总时间为y秒. 根据假设,一个周期内车辆在此路口滞留的总时间y分成两部分,一部分是南北方向车辆在此路口滞留的时间y1,另一部分是东西方向车辆在此路口滞留的时间y2. 下面计算南北方向车辆在此路口滞留的时间y1. 【模型求解】【数值模拟】   　　轮廓模型是以量纲模型为基础，利用量 的比例关系而构造简单数学模型的一种方法。 因为这种比例关系比较粗糙，因而成为轮廓 模型。 　（货物的包装成本）在超市中可以看到许 多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包装 的形式出售，同一种商品的包装也经常有大 小不同的规格，出售的价格也高低不同。下 表是一些例子。 　　从表中可以看到，大包装的商品每单位 重量的价格比小包装的价格要低。这显然是 由于节约了包装成本的缘故。现在我们建立 一个简单的模型来看看商品货物包装的成本 如何依赖于商品量的规律。 问题假设： 　　面对错综复杂的商品生产过程和包装形 式，为使问题简化，假设如下： 　1不考虑利润及其他因素对商品价格的影响； 　2所讨论的商品的生产和包装过程的工作效率 是固定不变的； 　3商品包装的成本只由包装的劳力投入和包装 材料的成本构成； 　4商品包装的形状大小是相似的，不同大小包 装所用的材料是相似的至少在价格上没有太大 差异。 模型建立： * 一、建模示例三：安全渡河问题 问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳 二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦 随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大 权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？ 1、问题分析：多步决策过程 决策----每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。 要求----在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）， 经有限步使全体人员过河。 2、模型建立 3、数学模型 多步决策问题 4、模型求解 ★ 穷取法 ~ 编程上机 ★ 图解法：我们着重介绍这一方法 给出了安全 渡河方案。 状态s=(x , y)~ 16个格点 允许状态 ~ 10个●点 允许决策 ~ 移动1格或2格（k奇,左下移；k偶,右上移） 5、模型评价 规格化的方法，通俗易懂，易于推广。 思考题 1．考虑4名商人各带一名随从的问题。 建模示例四：函数模型(交通问题模型) 建模示例五：轮廓模型 0.29元/10克 4.3元 150克 0.97元/10克 5.8元 60克 0.83元/10克 15.7元 190克 高露洁牙膏 0.24元/10克 5.9元 250克 奇宝饼 3.2元/10克 32元 100克 0.20元/10克 3.0元 150克 1.15元/10毫升 23.1元 200毫升 3.1元/10克 62元 200克 麦氏咖啡 0.19元/10克 8.8元 450克 富丽饼干 0.89元/10毫升 35.9元 400毫升 诗芬洗发液 单价 价格 商品量 商品 统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分 析，得到其内在的规律。 如：多元统计分析。 二、建模的方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。 系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把 定性的思维和结论用定量的手段表示出来。 如：层次分析法。 模型准备 模型假设 模型建立 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用 三、建模的步骤 N Y 1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。 有时需查资料或到有关单位了解情况等。 2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问 题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。 3）模型建立： 分清变量类型，恰当使用数学工具； 抓住问题的本质，简化变量之间的关系； 要有严密的数学推理，模型本身要正确； 要有足够的精确度。 4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。 6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。 5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优 决策控制。 四、数学建模的特点 五、数学建模的分类 1）按变量的性质分： 多变量模型 非线性模型 随机性模型 连续模型 单变量模型 线性模型 确定性模型 离散模型 2）按时间变化对模型的影响分 参数时变模型 动态模型 参数定常模型 静态模型 3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。 4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。 5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。 6）按对模型结构的了解程度分 白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。 灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。 黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。 从1983年起，在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性。 1、数学建模竞赛的发展历史（美国） 1987年改为 Mathematical Contest in Modeling, 其缩写 均为 MCM）。 1985年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛，简称 MCM，这是最早的数学建模。1987年以前的全称是 Mathe -matical Competition in Modeling。 竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到星期日举行，到2009年已举行了25届。 六、数学建模竞赛的相关知识 1990 年我国大学生数学建模竞赛开始举办，从最初的几十所学校、 几百个队发展到今年，除西藏外的 30 个省（市、自治区）以及香 港都有院校参赛。全国大学生数学建模竞赛，是由教育部高等教育 司与中国工业与应用数学学会（ CSIAM ）联合举办的大学生科技 活动，竞赛每年 9月下旬举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不 分专业。由 3 位同学组成一个队，在三天的时间里，团结协作，利 用数学知识与计算机知识，建立一个数学模型，解决一个实际问题， 最后提交一篇自己撰写的论文。 2、 数学建模竞赛的发展历史（中国）