数学建模论文
序号: 学号: 课 程 论 文实验课程名称: 数 学 建 模 课程论文名称: 宾馆救火问题 学 生 姓 名 张 沛 刘建尧 马崇泽 学 院(系): 数理学院 专 业 班 级: 信息101 授 课 教 师: 数理学院 王 强 实验时间: 2012 年 5 月 27 日 2012 年 6 月 12 日 宾馆救火问题摘要:本次试验我们这组针对城市密集度的进一步升高将会带来的隐患:火灾后果严重提出了宾馆救火问题。发生火灾后将会导致大量的损失,产生严重的后果,那么如何利用资源,不浪费资源,用最少的人,发挥出最好的效果,就是我们这组研究的问题。我们研究的是最少损失费用,那么作出合理的假设,把不规则的火势破坏程度拟合成能够计算的函数,进行相关转化,并选取关键问题,划定好线性规划的条件是我们的方法。用上述方法,我们计算出, 救总费用为: C(x)=+++c3x. (1)应出的队员人数为:X=+β (2)应用上述两个公式,我们能够计算出救火总费用和应出的队员人数。用最少的资源,达到损失资源最小的结果。宾馆救火问题问题提出: 由于现在城市,为了容纳大量的人口,创造更多的财富,楼房的密集度相对而言越来越高已经成为一种趋势,而密集度的增高带来的一个隐患就是楼房起火后容易蔓延,造成大量经济物资和人员的损失。如何在救火过程中,减少资源的浪费,并对资源的合理运用,是我们要解决的问题。针对于这个问题,我们选取人口流动性相对而言比较高的宾馆作为我们的讨论对象。宾馆意外起火,现在面临如何救火问题。消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢?这个问题值得我们深思。派的队员越多,那么相应的灭火时间越短,宾馆的损失将会越小,但是相应的救援的开支会越大。所以我们需要综合考虑宾馆损失费和救援费与消防队员人数之间的关系。以总费用最小来决定派出队员的数目。问题分析:这个问题我们要计算出总费用的最小值,而总费用等于宾馆损失费加上救援费。在研究损失费的时候,我们先简单的做出宾馆内每个地方无差别的假设(即不考虑宾馆内部条件,宾馆内单位面积的价值为宾馆内部房间的总体价值除以总体面积后的值)这样假设后,损失费通常要正比于宾馆的烧毁面积,而烧毁面积又与失火,灭火(指火被扑灭)的时间有关,灭火时间又取决于消防队员数目,队员越多,灭火越快。救援费既与消防队员人数有关,又与灭火时间长短有关。记失火时刻为t=0,开始救火时刻为t=t1,灭火时刻为t=t2.设在时刻t,宾馆烧毁面积为B(t),则照成损失的宾馆烧毁面积为B(t2).建模要对函数B(t)的形式作出合理的简单假设。研究比研究B(t)更为直接和方便。是单位时间烧毁面积,表示火势蔓延的程度。在消防队员到达之前,即0tt1,火势越来越大,即随t的增加而增加;在开始救火以后,即t1tt2,如果消防队员救火能力足够强,火势会越来越小,即.救援费可分为两部分:一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等,与队员人数及灭火所用的时间均有关;另一部分是运送队员和器材等的一次性支出,只与队员人数有关。 模型假设:需要对烧毁宾馆的损失费,救援费及火势蔓延程度在研究损失费的时候,我们先简单的做出宾馆内每个地方无差别的假设(即不考虑宾馆内部条件,宾馆内单位面积的价值为宾馆内部房间的总体价值除以总体面积后的值)损失费与宾馆烧毁面积B(t2)成正比,比例系数c1为烧毁单位面积的损失费。在研究起火的时候,我们做出火势变化是均匀的假设。即从失火到开始救火这段时间(0tt1)内,火势蔓延程度 在研究灭火的时候,我们假设每个消防队员的灭火能力一样(每名消防队员灭火能力为:取多次灭火案例中灭火的总体效果,除以队员人数。)派出消防队员x名,开始救火以后(tt1)火势蔓延速度降为β-λx,其中λ可视为每个队员的平均灭火速度。显然应有βλx.每个消防队员单位时间的费用为c2,于是每个队员的救火费用是c2(t2-t1);每个队员的一次性支出是c3.第2条假设可作如下解释:火势以失火点为中心,以均匀速度向四周呈圆形蔓延,所以蔓延的半径r与时间t成正比。又因为烧毁面积B与成正比,故B与成正比,从而与t成正比。这个假设在风力不大的条件下大致是合理的。4. 模型建立:根据假设条件2,3,火势蔓延程度在0?t?t1线性地增加,在t1?t?t2线性地减少。 t的图像如图所示。 b β λx-β0 t1 t2 t记t=t1时 dB/dt=b.烧毁面积B(t2)=dt,恰是图中三角形的面积,显然有:B(t2)= bt2,而t2满足:t2-t1== (1)于是 B(t2)=+ (2) 根据假设条件1,4,宾馆损失费为c1B(t2),救援费为c2x(t2-t1)+c3x. 将(1),(2)代人,得到救火总费用为: C(x)=+++c3x. (3) C(x)即为这个优化模型的目标函数。 5. 模型求解为求x使C(x)达到最小,令=0,可得到应派出的队员人数为:X=+β (4)6. 结果分析和检验首先,应派出队员数目由两部分组成,其中以部分β/λ是为了把火扑灭所必须的最少队员数。因为β是火势蔓延速度,而λ是每个队员的平均灭火速度,所以这个结果是明显的。从图中也可以看出,只有当xβ/λ时,斜率为λx-β的直线才会与t轴有交点t2. 其次,派出队员数的另一部分,即在最低限度之上的队员数,灭火速度将取决于这部分人数。而人员的人数又与问题的各个参数有关。当队员灭火速度λ和救援费用系数c3增大时,队员人数减少;当火势蔓延速度β、开始救火时刻t1及损失费用系数c1增加时,队员数增加。这些结果与常识是一致的。(4)式还表明,当救援费用系数c2变大时队员数也增加。 实际应用合格模型时,c1,c2,c3是已知常数,β,λ由宾馆类型,消防队员素质等因素决定,可以预先制成表格以备查用。由失火到救火的时间t1则要根据现场情况估计。7. 优缺点,改进方向建立这个模型的关键是对 的假设。比较合理而又简化的假设条件2,3只能符合风力不大,宾馆内无重大宝贵财富,消防队员能力基本一致,火势的蔓延是以一个点为起点,按照圆形区域扩大半径范围。在风势的影响,房屋的独特性条件下应考虑另外的假设。再者,根据常识,火势越大消防队员灭火越难,火势越小消防队员灭火越简单。有人对队员灭火的平均速度λ是常数的假设提出异议,认为λ应与开始救火的时刻t1有关,t1越大λ越小。这时要对函数λ(t1)作出合理的假设。再得到进一步的结果。8.参考文献姜启源等.数学模型(第三版).高等教育出版社.2003韩中庚. 数学建模方法及其应用(第二版).高等教育出版社.20099. 附录(假设a1=β=0.1/s,a2=λ=0.02/s,c1=100元/,c2=0.1元/s,c3=100元,t1=300s. ) a1=0.1;a2=0.02;c1=100;c2= 0.1;c3=100;t1=300;x=a1/a2+a1*((c1*a2*t1^2+2*c2*t1)/2*c3*a2^2)^0.5B=a1*t1^2/2+a1^2*t1^2/(2*(a2*x-a1))C=c1*B+c2*a1*t1*x/(a2*x-a1)+c3*x结果:x = 11.
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