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深圳市华侨城中学高二年级圆锥曲线的测试题 姓名
（时间： 100 分钟；共
23 个题：满分
150 分）
一、 选择题（ 10 5
50）
1.
椭圆
x 2
y
2
1的焦距是
（
）
3
5
A.
2 2
B. 4
2
C.
2
D.
2
2.
抛物线 x 2
y 的准线方程是
（
）
（ A ） 4x
1 0
（B ） 4 y 1 0
（ C） 2x
1 0
（D ） 2y 1 0
3．椭圆 5x2
ky 2
5 的一个焦点是（
0， 2），那么 k 等于 （
）
A.
1
B.
5
C. 1
D.
5
4．在平面直角坐标系
xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在
y 轴上，一条渐近线方程为
x
2y
0 ，则它的离心率为
（
）
A ． 2
5
C． 3
D． 5
B ．
2
5.
抛物线 x2
4 y 上一点 A 的纵坐标为
4，则点 A 与抛物线焦点的距离为
()
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
6
mx
2
y
2
1
的虚轴长是实轴长的
2
倍，则 m 等于
（
）
．双曲线
A.
1
B.
4
C.
4
D. 1
4
4
7.
双曲线 x2
y 2
1(mn
0) 离心率为 2，有一个焦点与抛物线
y2
4x 的焦点重合，则
m n
mn 的值为 ( )
3
3
16
8
A ．
B ．
C．
D．
16
8
3
3
8. 已知双曲线的中心在原点，离心率为
3 .若它的一条准线与抛物线
y 2
4x 的
准线重合，则该双曲线与抛物线y 2
4x 的交点到原点的距离是
（
）
A ． 2 3 + 6
B ． 21
C． 18 12 2
D． 21
9. 抛物线 y=4 x2
上的一点 M
到焦点的距离为
1，则点 M 的纵坐标是
(
)
17
( B )
15
7
( D ) 0
( A )
16
( C )
16
8
1、F2 是双曲线 x 2
y 2
1(
a
0,
b
0) 的两焦点， 以线段 F1
2 为边作正三角形
10.
已知 F
a 2
b2
F
MF 1F2，若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
（
）
A ． 4 2 3
B ． 3 1
3
1
D．
3 1
C．
2
二．填空（每个空
5 分。共 50 分）
11
y
2
2 px( p 0)
上一点
M
到焦点的距离为
a ，则点
M
到准线的距离是
．抛物线
12．焦点是 F (0,
8), 准线是 y
8, 的抛物线的标准方程是
13．过点 A(
3,2) 的抛物线的标准方程是
14．在抛物线
y2
2 px( p 0) 上，横坐标为
4 的点到焦点的距离为
5，则 p 的值是
15.若点 P 到点 F (4,0) 的距离比它到直线
x
5 0 的距离少 1，则动点 P 的轨迹方程是
16．已知双曲线 2x2 y2 2 ，则渐近线方程是 准线方程是
x 2
y
2
F1 、 F2 ，点 P 在双曲线上，若 PF1
PF2 ，则点 P
17．双曲线
1的两个焦点为
9
16
到 x 轴的距离为
18．在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线关于 x 轴对称，顶点在原点 O ，且过点 P(2 ，4) ，
则该抛物线的方程是
．
19．若点
A(3,2) ，
F
为抛物线
y 2
2x 的焦点，点
M
在抛物线上移动，则使
MA
MF
取最小值时，点
M
的坐标是
三．解答题
20．（ 10
分）已知抛物线的方程
y 2
4x
，过定点
P( 2,1) 且斜率为
k 的直线
l
与抛物线
y 2
4x 相交于不同的两点
.求斜率
k 的取值范围
x2
y2
M 点平分，求此弦所
21．（ 10 分）过椭圆
1 内一点 M (2,1) 引一条弦，使得弦被
16
4
在的直线方程 .
22. （满分 15 分）已知双曲线的中心在原点，焦点在
x 轴上，离心率 e
3 ，焦距为 2 3
（ I）求该双曲线方程 .
（ II ）是否定存在过点
P
(1
1
l
与该双曲线交于
A
，
B
两点，且点
P
是线段
AB
， ）的直线
的中点？若存在，请求出直线
l 的方程，若不存在，说明理由 .
23．（满分 15 分）设 F1、 F2 分别是椭圆
x2
y2
1的左、右焦点 .
4
（Ⅰ）若 P 是该椭圆上的一个动点，求
PF1 · PF2
的最大值和最小值 ;
（Ⅱ）设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点
A 、B ，且∠ AOB 为锐角（其中 O
为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .
答案
ABCDD
AABBD
11. a 12. x2
32 y 13. y2
4 x 或 x2
9 y
14. 2
3
2
15. y
2
16x
16. y
2x
y
2
3
16
18. y
2
8x
19
M ( 2,2)
3
17.
5
三．解答题
20．（ 10 分）已知抛物线的方程
y 2
4x ，过定点 P(
2,1) 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线
y 2
4x 相交于不同的两点 .求斜率 k 的取值范围
1
k
1 , 且 k
0
.
2
21．（ 10 分）过椭圆
x2
y2
1 内一点 M (2,1) 引一条弦，使得弦被
M 点平分，求此弦所
16
4
在的直线方程 .
k
1
,
x
2y
4
0.
2
22. （满分
15 分）已知双曲线的中心在原点，
焦点在坐标轴上， 离心率 e
3 ，焦距为 2 3
（ I）求该双曲线方程 .
（ II ）是否定存在过点
P (1，
1）的直线 l 与该双曲线交于 A ， B 两点，且点 P 是线段 AB
的中点？若存在，请求出直线
l 的方程，若不存在，说明理由 .
（1） x2
y 2
1
2
（2）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，直线： y
kx
1 k ，代入方程 x2
y 2
1得
2
(2 k 2 ) x2
2k (1 k) x (1 k )2
2 0 （ 2 k 2
0 ）
x1 x2
k (1
k )
1，解得 k
2，此时方程为 2x
2
4x
3 0 ，
0
则
2
k 2
2
方程没有实数根。所以直线
l 不存在。
23．（满分 15 分）设 F1、 F2 分别是椭圆
x2
y2
1的左、右焦点 .
4
（Ⅰ）若 P 是该椭圆上的一个动点，求
PF1 · PF2
的最大值和最小值 ;
（Ⅱ）设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点
A 、B ，且∠ AOB 为锐角（其中 O
为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .
解：（Ⅰ）解：易知 a 2, b 1,c
3
所以 F1
3,0
, F2
3,0 ，设 P x, y ，则
PF1 PF2
3 x, y , 3 x, y
x
2
y
2
3 x
2
1
x2
1
2
8
3
3x
4
4
因为 x
2,2
，故当 x
0 ，即点 P 为椭圆短轴端点时，
PF1
PF2 有最小值
2
当 x
2
，即点 P 为椭圆长轴端点时，
PF1
PF2
有最大值
1
（Ⅱ）显然直线
x
0不满足题设条件，可设直线
l : y
kx
2, A x1 , y2
, B
x2, y2 ，
y
kx
2
1
联立
，消去
y ，整理得：
k
2
2
4kx
3
0
x
2
y2
x
4
1
4
∴ x1
x2
4k
, x1
3
k
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