勾股定理论文

1、.勾股定理论文勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。下面，就让我们开始认识勾股定理吧学习目标了解勾股定理的历史，探索勾股定理的应用价值了解证明勾股定理的方法，学会应用勾股定理获得一些研究数学问题的经验和方法一勾股定理的历史及应用价值赵爽与勾股定理赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形

2、证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。毕达哥拉斯定理 在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角

3、形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。周髀算经中还有“陈子测日”的记载：根据勾股定理，周子可以测出日高及日远我们的先辈们还根据勾股定理发明了一种由互相垂直的勾尺和股尺构成的测量工具矩对于勾股定理，我国古代的数学家没有把主要精力放在仅仅给出严格的逻辑推理证明上，也没有在不可通约量究竟是什么性质的数上面做文章，而是立足于对由此可以解决的一类实际问题算法的深入研究通过在直角三角形范围内讨论与勾股定理、相似直角三角形性质定理有关的命题，他们推出了一种组合比率算法勾股术勾股术把相似直角三角形的概念作为基本概念，把相似直角三角形的性质作为基本性质，使相似直角三角形之间的相似比率构成了勾股的核心勾股术用

4、比率表达相似勾股对应边成比例的原理，勾股整数和勾股两容（容圆、容方）问题的求解；建立了勾股测量的理论基础后来，刘徽实际上把相似勾股形理论确定为勾股比率论，并明确提出了“不失本率原理”，又把这个原理与比例算法结合起来，去论证各种各样的勾股测量原理，从而为我国古代的勾股测望术建立了坚实的理论基础。二勾股定理的进一步探索什么是勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数a b c 称为勾股数一些基本的勾股数（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）.勾股数的规律设（A B C）为一组勾股数（A,B,C 互质），则（NA,NB,NC）也是一组勾股数（N为正整数）勾股定理的证明1

5、.课本方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这是几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。scccccccccccc 方法2：直接在直角三角形三边上画正方形，如图 这个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： 全等形的面积相等； 一个图形分割成几部分，各部分面积之

6、和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 2古人的方法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 3.美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图，ABCD S梯形ABCD= (a+b) 2 = (a2+2ab+b2)， 又S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c

7、2)。 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 DBAC4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。如图，RtABC中，ACB=90。作CDAB，垂足为D。则 BCDBAC，CADBAC。 由BCDBAC可得BC2=BD BA， 由CADBAC可得AC2=AD AB。 我们发现，把、两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的

8、方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 应用勾股定理犯的错误：勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理,其应用非常广泛.我们在应用这两个定理解题时,常常会出现错解,现将错误归纳剖析如下,以引起我们的重视.一、忽视题目中的隐含条件例1在RtABC中,a、b、c分别为三条边,B=90,如果a=3cm,b=4cm,求边c的长.误解:ABC是直角三角形,a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面的解法,忽视了题目中B=90,b是斜边的隐含条件.正解:B=90,a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的AB

9、C中,ABAC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,ABAC,AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。欧几里得在他的几何原本中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。4 / 4.