轴向拉伸与压缩分析

1、1材料力学材料力学 刘加一刘加一第二章第二章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2-2 轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力2-3 轴向拉伸或压缩时变形轴向拉伸或压缩时变形2-4 材料拉伸和压缩时的力学性能材料拉伸和压缩时的力学性能2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算2-6 连接部分的强度计算连接部分的强度计算2-7 拉压超静定问题拉压超静定问题2-8 热应力和初应力热应力和初应力2材料力学材料力学 刘加一刘加一轴向拉伸轴向拉伸轴力作用下，杆件伸长轴力作用下，杆件伸长 （简称拉

2、伸）（简称拉伸）轴向压缩轴向压缩轴力作用下，杆件缩短轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）（简称压缩）2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力1轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩的概念FFFF轴向拉伸压缩变形受力特点轴向拉伸压缩变形受力特点：外力或其合力的外力或其合力的作用线沿杆作用线沿杆的轴线的轴线，而杆件的主要，而杆件的主要变形变形为杆件的伸长或缩短为杆件的伸长或缩短这种只反映杆件这种只反映杆件几何特征几何特征和和受受力特征力特征的简化图形，称为的简化图形，称为受力受力简图简图3材料力学材料力学 刘加一刘加一2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴

3、向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力4材料力学材料力学 刘加一刘加一2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩实例轴向拉伸或压缩实例5材料力学材料力学 刘加一刘加一定义：弹性构件受荷载作用时，内部将产生内力，定义：弹性构件受荷载作用时，内部将产生内力，这种内力不同于物体这种内力不同于物体固有的内力固有的内力，而是一种由于变，而是一种由于变形而产生的形而产生的附加内力附加内力（简称内力简称内力）2内力内力2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力6材料力学材料力学 刘加一刘加一2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上

4、的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 物体受外力作用后，由于变形，其内部各物体受外力作用后，由于变形，其内部各点均会发生点均会发生相对位移相对位移，因而产生，因而产生相互作用力相互作用力 内力随内力随外力外力的的增加增加而而加大加大，随外力的，随外力的撤除撤除而消失而消失。2内力内力7材料力学材料力学 刘加一刘加一 为了显示和计算内力，用一假想的平面将杆件截开，分成为了显示和计算内力，用一假想的平面将杆件截开，分成两部分，以其中任一部分为研究对象，利用平衡条件将截面上两部分，以其中任一部分为研究对象，利用平衡条件将截面上的内力求出，即所谓的的内力求出，即所谓的截面法截面法。 由由材

5、料连续性假设材料连续性假设知，截面上的知，截面上的内力内力一般是一个一般是一个空间空间连续分布力系连续分布力系。2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力8材料力学材料力学 刘加一刘加一主矢主矢FR主矩主矩MxyzFNTFsyFszMyMz内力：内力：轴向分量轴向分量:力：力：轴力轴力 FN力矩：扭矩力矩：扭矩T横向分量横向分量:力：剪力力：剪力 Fsy、FSZ 力矩：弯矩力矩：弯矩 My、Mz2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力9材料力学材料力学 刘加一刘加一截面法截面法 求内力可归纳为四个字：求内力可归纳为四

6、个字：1 1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想 地截成两部分地截成两部分2 2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分3 3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下 部分的作用力部分的作用力4 4）平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力）平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力10材料力学材料力学 刘加一刘加一S SFX=0：FN(x)- -F=0； F

7、N(x)= =FS SFX=0：-FN(x)+ +F=0； FN(x)=FxxFIFIIFNFN轴力的符号？轴力的符号？2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力截面法截面法截截取取代代平平FFIII 3截面法、轴力截面法、轴力mm11材料力学材料力学 刘加一刘加一轴力的正负规定轴力的正负规定: 正正FFFNFN2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 负负FF纵向伸长变形为正纵向伸长变形为正纵向缩短变形为负纵向缩短变形为负 正正FFN 负负F轴力的方向与截面的外法线方向一致时为正，反之为负轴力的方向与截面的外法线方

8、向一致时为正，反之为负12材料力学材料力学 刘加一刘加一反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。置，为强度计算提供依据。4轴力图轴力图FNx意意义义2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力x用横轴表示横截面位置，纵轴表用横轴表示横截面位置，纵轴表示轴力之值（正值向上），从而示轴力之值（正值向上），从而绘制绘制FN (x) 的函数图形，这种图形的函数图形，这种图形称为称为轴力图轴力图

9、。+_13材料力学材料力学 刘加一刘加一FN +- -例例2-1-1：作图示杆件的轴力图，并指出作图示杆件的轴力图，并指出| FN |maxIIIIII | FN |max=100kNFN2= - -100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力xB150kN100kN50kNxAC14材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-1-2：作图示杆的轴力图：作图示杆的轴力图FNx2kN3kN5kN1kN+2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

10、+5kN8kN4kN1kNOxABCD15材料力学材料力学 刘加一刘加一解：解：x 坐标向右为正，坐标原点在自由端坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧。取左侧x x 段为对象，力段为对象，力F( (x) )为：为：qk LxO2021d)(kxxkxxFxN-=-=2max21)(kLxFN-=例例2-1-3：图示杆长为：图示杆长为L，受分布力，受分布力 q = kx 作用，方向如图，作用，方向如图，试画出杆的轴力图。试画出杆的轴力图。Lq(x)FN(x)xq(x)FNxO22kL2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2021d)(kxxkxxFx=

11、16材料力学材料力学 刘加一刘加一内力内力 强度强度5应力应力2-1 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力?截面几何尺寸截面几何尺寸材料性质材料性质 在研究杆的强度时，必须考虑杆横截面上某一点（微面在研究杆的强度时，必须考虑杆横截面上某一点（微面元）上所受之力，这就需要引入一个新概念元）上所受之力，这就需要引入一个新概念-应力（应力（stress）A1 bL，铸铁抗压性能，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成裂面为与轴向大致成45o55o的滑移面破坏。的滑移面破坏。2. 铸铁压缩铸铁压缩2-4 材料拉伸和压缩时的力学性能材料

12、拉伸和压缩时的力学性能61材料力学材料力学 刘加一刘加一用这三种材料制成同尺寸拉杆，用这三种材料制成同尺寸拉杆，请回答如下问题：请回答如下问题：哪种强度最好？哪种强度最好？哪种刚度最好？哪种刚度最好？请说明理论依据？请说明理论依据？三种材料的应力三种材料的应力应变曲线如图，应变曲线如图，1232-4 材料拉伸和压缩时的力学性能材料拉伸和压缩时的力学性能62材料力学材料力学 刘加一刘加一 由于构件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然由于构件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大的现象称为增大的现象称为应力集中应力集中。五、应力集中的概念五、应力集中的概念max=K理论应力集中因数：理论应力集中因数

13、：2-4 材料拉伸和压缩时的力学性能材料拉伸和压缩时的力学性能63材料力学材料力学 刘加一刘加一应力集中对强度的影响应力集中对强度的影响塑性材料制成的构件受静荷载情况下：最大应力达到屈服应力之后，增加的应力将由同一截面上未屈服的部分承担。屈服区域不断扩大，应力分布趋于均匀。2-4 材料拉伸和压缩时的力学性能材料拉伸和压缩时的力学性能64材料力学材料力学 刘加一刘加一 塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力集中的影响。2-4 材料拉伸和压缩时的力学性能材料拉伸和压缩时的力学性能 对于脆性材料制成的构件，当由应力集中所形成的最大局部应力 达到强度极限时，构件即发生破坏。 max 均匀的脆性

14、材料或塑性差的材料(如高强度钢)制成的构件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。65材料力学材料力学 刘加一刘加一材料丧失正常工作能力（失效）时的应力材料丧失正常工作能力（失效）时的应力称为称为极限应力极限应力，用，用u表示。表示。脆性材料拉脆性材料拉max= u拉= b拉塑性材料塑性材料max= u= s拉压构件材料的失效判据：拉压构件材料的失效判据：脆性材料压脆性材料压max= u压= b压2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算66材料力学材料力学 刘加一刘加一一、材料的拉、压许用应力一、材料的拉、压许用应力 对于由一定材料制成的具体构件，工作应力的对于由一定材料制成的具

15、体构件，工作应力的最大容许值最大容许值，称，称为材料的为材料的许用应力许用应力，用，用 表示。许用应力与极限应力的关系为表示。许用应力与极限应力的关系为nu=式中，式中，n为大于为大于1的因数，称为安全因数（安全系数）的因数，称为安全因数（安全系数）塑性材料：塑性材料： ,s2 . 0ssnn=或脆性材料：许用拉应力脆性材料：许用拉应力 bbtn=bbccn=许用压应力许用压应力 2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算67材料力学材料力学 刘加一刘加一二、拉二、拉( (压压) )杆的强度条件杆的强度条件其中：其中： max拉拉( (压压) )杆的最大工作应力；杆的最大工作应力

16、； 材料拉伸材料拉伸( (压缩压缩) )时的许用应力。时的许用应力。 maxmax=xAxFN2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算68材料力学材料力学 刘加一刘加一三、关于安全因数的考虑三、关于安全因数的考虑 （1）理论与实际差别理论与实际差别：经简化而成的力学模型：经简化而成的力学模型与实际结构总有偏差，计算所得应力通常带有一与实际结构总有偏差，计算所得应力通常带有一定程度的近似性定程度的近似性。（2）足够的安全储备足够的安全储备：使用寿命内可能遇到意外使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。坏的

17、后果。安全系数的取值：安全系数的取值：安全系数是由多种因素决定的。可从有安全系数是由多种因素决定的。可从有关规范或设计手册中查到。在一般静载下，对于塑性材料关规范或设计手册中查到。在一般静载下，对于塑性材料通常取为通常取为1.52.2；对于脆性材料通常取为；对于脆性材料通常取为3.0 5.0，甚，甚至更大。至更大。2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算69材料力学材料力学 刘加一刘加一四、四、强度计算的三种类型强度计算的三种类型 (3) 许可荷载的确定:FN,maxA (2) 截面选择：max,NFAmax,Nmax=AF (1) 强度校核：2-5 失效、安全因素和强度计算失

18、效、安全因素和强度计算70材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-5-1 已知一圆杆受拉力已知一圆杆受拉力P =25 k N ，许用应力，许用应力 =170MPa ，直径，直径 d =14mm，校核此杆强度。，校核此杆强度。解：解： 轴力：轴力：FN = P =25kNMPa162141431025423max=.AFN应力：应力：强度校核：强度校核： = 162MPamax结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算71材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-5-2 图示三角架，杆AC由两根80 mm 80

19、mm7 mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，=170 MPa。试求许可荷载F。2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算72材料力学材料力学 刘加一刘加一解 :030sin 0030cos 0N1N1N2=-=-=FFFFFFyxFF21N=(拉)（压）FF732. 12N=2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算73材料力学材料力学 刘加一刘加一计算各杆的许可轴力计算各杆的许可轴力由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积由强度条件 ；得各杆的许可轴力：N=AFkN20.486kN;24.3692N1N=FF221mm

20、17222)mm0861 (=A杆AC的横截面面积：222mm86022)mm4301 (=A杆AB的横截面面积：先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：kN6 .18421N1=FFkN7 .280732. 1N22=FFkN6 .184=F故故2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算74材料力学材料力学 刘加一刘加一例题例题2-5-4 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直，屋架中的钢拉杆直径径 d =16 mm，许用应力，

21、许用应力 =170M Pa。试校核钢拉杆。试校核钢拉杆的强度的强度。钢拉杆钢拉杆4.2mq8.5m2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算75材料力学材料力学 刘加一刘加一解：解：q钢拉杆8.5m4.2mRARBHA2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算00AXH=0Bm =8.508.50AqxdxR-=17.85ARkN=76材料力学材料力学 刘加一刘加一 应力：应力：强度校核与结论：强度校核与结论： MPa170 MPa 79.44 max =此杆满足强度要求，是安全的。此杆满足强度要求，是安全的。MPa79.44161094 23max =AFN 局部

22、平衡求局部平衡求 轴力：轴力： qRARCHCFNkN9 0=NCFm2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算77材料力学材料力学 刘加一刘加一例题例题2-5-5 简易起重机构如图，简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与为刚性梁，吊车与吊起重物总重为吊起重物总重为P，为使，为使 BD杆最轻，角杆最轻，角 应为何值？应为何值？ 已知已知 BD 杆的杆的许用应力为许用应力为 。xLhPABCD2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算78材料力学材料力学 刘加一刘加一PxhFmBDA=)ctg() sin( , 0coshPxFBD= /max,BDFA BD杆面积杆

23、面积A：解：解： BD杆杆内力内力FN ： 取取AC为研究对象，如图为研究对象，如图 YAXAFBDxLPABCcosmax,hPLFBD=2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算79材料力学材料力学 刘加一刘加一 求求VBD 的的最小值：最小值：;2sin 2sin/PLAhALVBDBD=2 45minoPLV,=时2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算80材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-5-6 D=350mm，p=1MPa。螺栓。螺栓 =40MPa，求，求螺栓螺栓直径。直径。pDF24=每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力根据强度条件

24、 =AFNmax 22.6mm4061350622=pDd即螺栓的轴力为pDFFN2246= NFA得 24422pDd即螺栓的直径为螺栓的直径为Dp2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算81材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-5-7 图示空心圆截面杆，外径图示空心圆截面杆，外径D20mm，内径，内径d15mm，承受轴向荷载，承受轴向荷载F20kN作用，材料的屈服应力作用，材料的屈服应力 s235MPa，安全因数，安全因数n=1.5。试校核杆的强度。试校核杆的强度。 解：解：可见，工作应力小于许用应力，说明杆件安全可见，工作应力小于许用应力，说明杆件安全。 156MPa1.

25、5235=ssn145MPa152010204422322=-=-=dDFFFDd2-5 失效、安全因素和强度计算失效、安全因素和强度计算82材料力学材料力学 刘加一刘加一2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算一一. .剪切实例剪切实例铆钉连接铆钉连接剪床剪钢板剪床剪钢板F FF F83材料力学材料力学 刘加一刘加一2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算销轴连接销轴连接剪切受力特点：剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。位于两力之间的截面发生相对错动。

26、FF84材料力学材料力学 刘加一刘加一2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算F FF FFFmmFSFmmSFmmFF FnnF FF Fs snF FnF Fs snnF F2F2FFF Fs sF Fs snnF FmmFFsFF=sFF=2sFF =85材料力学材料力学 刘加一刘加一AFS=剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的切应力剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的切应力相等，于是得剪切面上的名义切应力为：相等，于是得剪切面上的名义切应力为： =AFS剪切强度条件剪切强度条件 剪切面为圆形时，其剪切面积为：剪切面为圆形时，其剪切面积为： 42dA=对于平键对于平键 ，其剪切面积为：，其剪

27、切面积为： lbA=2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算86材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-6-1 2-6-1 如图所示冲床，如图所示冲床，F Fmaxmax=400kN=400kN，冲头，冲头 400MPa400MPa，冲剪钢，冲剪钢板板u u=360 MPa=360 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。 解解(1)(1)按冲头的压缩强度计算按冲头的压缩强度计算d d ，得由=AFN FFdA=N24 cmFd4 . 34=(2)(2)按钢板剪切强度计算按钢板剪切强度计算 t tsuFA=uFAdt=1.04uFtcmd =2-6 剪切

28、和挤压计算剪切和挤压计算87材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-6-2 图示装置常用来确定胶接处的抗剪强度，如已知图示装置常用来确定胶接处的抗剪强度，如已知破坏时的荷载为破坏时的荷载为10kN，试求胶接处的极限剪（切）应力。，试求胶接处的极限剪（切）应力。胶缝胶缝30mm10mmFFSFSFkN52S=FF23001030mmAs=MPa7 .163001053S=suAF解：解：2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算88材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-6-3 如图螺钉，已知：如图螺钉，已知： =0.6 ，求其，求其d:h的合理比的合理比解解:hFd 当当 ， 分别达到分别达到 ， 时，

29、时， 材料的利用最合理材料的利用最合理 =dhFAFdFAFSS2N47 . 6:6 . 042=hddhFdF得剪切面剪切面dh2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算89材料力学材料力学 刘加一刘加一FF挤压面挤压面FF压溃压溃(塑性变形塑性变形)挤压计算对连接件与被连接件都需进行挤压计算对连接件与被连接件都需进行二、挤压的实用计算二、挤压的实用计算 2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算 在销钉与孔相互接触的圆柱侧面上，将发生彼此间的局部在销钉与孔相互接触的圆柱侧面上，将发生彼此间的局部受压现象，这一现象称为受压现象，这一现象称为挤压挤压。在接触面上的压力称为。在接触面上的压力称为挤压力挤压力

30、90材料力学材料力学 刘加一刘加一挤压强度条件挤压强度条件： bsbsmax)(挤压许用应力挤压许用应力：由模拟实验测定由模拟实验测定 挤压面为平面，计算挤压面就是该面挤压面为平面，计算挤压面就是该面挤压面为圆柱面，取圆柱面对相应直挤压面为圆柱面，取圆柱面对相应直径平面的投影面积径平面的投影面积挤压应力挤压应力bsbsbsAF=tdFbs挤压力挤压力计算挤压面计算挤压面Abs=td2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算91材料力学材料力学 刘加一刘加一h/2bldOFSnnFsFbsFMennOMe=blAdMFSekN1 .57/2S =MPa6 .28SSblFAFS校核键的剪切强度：校核键

31、的剪切强度：kN157S.FFbs= bsbsbsbsbshlFAF=MPa2 .952/ )(/2bshlA =校核键的挤压强度：校核键的挤压强度：例例2-6-4 图示轴与齿轮的平键联接。已知轴直径图示轴与齿轮的平键联接。已知轴直径d=70mm，键的尺，键的尺寸为寸为bhl=2012100mm，传递的力偶矩，传递的力偶矩Me=2kNm，键的许，键的许用应力用应力 =60MPa， bs=100MPa。试校核键的强度。试校核键的强度。强度满足要求强度满足要求2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算92材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-6-5 电瓶车挂钩由插销联接，如图示。插销材料为电瓶车挂钩由插

32、销联接，如图示。插销材料为2020钢，钢，=30MPa，bs100MPa，直径直径d=20mm。挂钩及被联接的板件挂钩及被联接的板件的厚度分别为的厚度分别为t=8mm和和1.5t=12mm。牵引力牵引力F=15kN。试校核插销的试校核插销的强度。强度。 22 =AFS =-MPa9 .231020210154242332SdFAFbs333bsbsbsMPa5 .621020101210155 . 1=-dtFAFbsbsbsbs=AF2-6 剪切和挤压计算剪切和挤压计算2293材料力学材料力学 刘加一刘加一静定问题：静定问题：杆件的未知力（反力和轴力）均可通杆件的未知力（反力和轴力）均可通过

33、静力平衡方程确定过静力平衡方程确定2-7 拉压超静定问题拉压超静定问题超静定问题：超静定问题：杆件的未知力的数目超过独立平衡杆件的未知力的数目超过独立平衡方程的数目，仅用平衡条件不能解决问题方程的数目，仅用平衡条件不能解决问题为了确定超静定结构的未知力，除了应用为了确定超静定结构的未知力，除了应用平衡方平衡方程程之外，还必须研究结构的之外，还必须研究结构的变形几何相容关系变形几何相容关系，并借助力与变形（或位移）间的并借助力与变形（或位移）间的物理关系物理关系，建立，建立足够数量的足够数量的补充方程补充方程，然后与平衡方程联立求解。，然后与平衡方程联立求解。94材料力学材料力学 刘加一刘加一静

34、定结构：静定结构：未知力可由静未知力可由静力平衡方程求得；力平衡方程求得；超静定结构：超静定结构：未知力不未知力不能由平衡方程求得；能由平衡方程求得；超静定次数：超静定次数：未知力多未知力多于独立平衡方程的数目于独立平衡方程的数目2-7 拉压超静定问题拉压超静定问题95材料力学材料力学 刘加一刘加一(a)(b)2-7 拉压超静定问题拉压超静定问题 图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题一次超静定问题。96材料力学材料力学 刘加一刘加一1 1、列出独立的平衡方程、列出独立

35、的平衡方程: :超静定结构的求解方法：超静定结构的求解方法：=210NNxFFF=+=FFFFNNy31cos202 2、变形几何关系、变形几何关系cos321lll=3 3、物理关系、物理关系cos11EAlFlN=EAlFlN33=4 4、补充方程、补充方程coscos31EAlFEAlFNN=231cosNNFF=5 5、求解方程组得、求解方程组得3221cos21cos+=FFFNN33cos21+=FFN2-7 拉压超静定问题拉压超静定问题97材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-7-1 求图求图a所示等直杆所示等直杆AB上上,下端的约束力。杆的下端的约束力。杆的拉压刚度为拉压刚度为

36、EA。 解解: :F FA A+ +F FB B- -F F=0=0，故为一次超静定问题。，故为一次超静定问题。2-7 拉压超静定问题拉压超静定问题98材料力学材料力学 刘加一刘加一2.2.相容条件相容条件ACAC+ +CBCB=0=03.3.补充方程为补充方程为 0=-EAlFEAaFBAlFaFB=由此求得由此求得所得所得F FB B为正值，表示为正值，表示F FB B的指向与假的指向与假设的指向相符，即向上。设的指向相符，即向上。得得FA=F-Fa/l=Fb/l。4.4.由平衡方程由平衡方程 FA+FB-F=02-7 拉压超静定问题拉压超静定问题99材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-

37、7-2 3根杆材料相同，根杆材料相同，AB杆面积为杆面积为200mm2，AC杆面积为杆面积为300 mm2，AD杆面积为杆面积为400 mm2，若，若F=30kN，试计算各杆的应力。，试计算各杆的应力。32lllADAB=列出平衡方程：列出平衡方程：0=xF0320130cos30cosNNNFFF+=FFFFNNy=+=030130sin30sin0即：即： 1323321NNNFFF+= 2231FFFNN=+列出变形几何关系列出变形几何关系 解：设解：设AC杆杆长为杆杆长为l，则，则AB、AD杆长为杆长为F F30ABC30D123F FAxy1NF2NF3NF2-7 拉压超静定问题拉压

38、超静定问题100材料力学材料力学 刘加一刘加一 将将A点的位移分量向各杆投影，得点的位移分量向各杆投影，得cossin1xyl-=xl=2cossin3xyl+=xyAAxycos2213lll=-变形关系为变形关系为 2133 lll=-代入物理关系代入物理关系22113333232EAlFEAlFEAlFNNN=- 322213NNNFFF+=整理得整理得2-7 拉压超静定问题拉压超静定问题101材料力学材料力学 刘加一刘加一 1323321NNNFFF+= 2231FFFNN=+ 322213NNNFFF+=联立，解得：联立，解得：kN6 .34323=FFNMPa6 .863=（压）（

39、压）MPa8 .262-=kN04. 8232-=-=FFN（拉）（拉）MPa1271=kN4 .253221=-=FFN（拉）（拉）2-7 拉压超静定问题拉压超静定问题102材料力学材料力学 刘加一刘加一1、静定问题无温度应力静定问题无温度应力。一、热应力（温度应力）一、热应力（温度应力）ABC122、静不定问题存在温度应力静不定问题存在温度应力。2-8 热应力和初应力热应力和初应力对于静定杆或杆系，杆件可自由变形，对于静定杆或杆系，杆件可自由变形，杆件伸长或缩短不会引起应力变化杆件伸长或缩短不会引起应力变化TlT=杆长变化量杆长变化量对于超静定杆或杆系，杆件温度变形会受到限制，对于超静定杆

40、或杆系，杆件温度变形会受到限制，杆内将引起内力。因温度变化在结构内引起的应力杆内将引起内力。因温度变化在结构内引起的应力 称为称为热应力热应力103材料力学材料力学 刘加一刘加一例例2-8-1 如图，如图，1、2号杆的尺寸及材料都相号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由同，当结构温度由T1变到变到T2时时,求各杆的温度内求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为力。（各杆的线膨胀系数分别为 i ; T= T2 -T1)CABD123解解 (1)(1)平衡方程平衡方程: :=+-=0sinsin21NNFFX=+=0coscos321NNNFFFYFAFN1FN3FN22-8 热应力和初应力热应力

41、和初应力104材料力学材料力学 刘加一刘加一CABD123A11L2L3L(2) (2) 几何方程几何方程cos31LL=iiiiiNiiLTAELFL+=(3) 物理方程：物理方程：(4) 补充方程补充方程：(5) 解平衡方程和补充方程，得解平衡方程和补充方程，得:cos)(333333111111LTAELFLTAELFNN+=+ / cos21)cos(331132311121AEAETAEFFNN+-= / cos21cos)cos(233113231113AEAETAEFN+-=2-8 热应力和初应力热应力和初应力105材料力学材料力学 刘加一刘加一 aaN1N2例例2-11-2 如

42、图阶梯钢杆的上下两端在如图阶梯钢杆的上下两端在T1=5时被固定，杆的时被固定，杆的上下两段的面积分别上下两段的面积分别 = cm2 ， =cm2，当温度升至，当温度升至T2=25时时,求各杆的温度应力。（线膨胀系数求各杆的温度应力。（线膨胀系数 =12.510-6 1/ C；弹性模量；弹性模量E=200GPa）、几何方程：、几何方程：解：解：、平衡方程：、平衡方程：=-=021NNFFY0=-=FTLLL、物理方程：、物理方程：解平衡方程和补充方程，得解平衡方程和补充方程，得: kN3 .3321=NNFF、补充方程：补充方程：22112EAaFEAaFTaNN+=、温度应力、温度应力 MPa

43、7 .66111=AFN MPa3 .33222=AFNTaLT=22-8 热应力和初应力热应力和初应力aa106材料力学材料力学 刘加一刘加一2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。二、二、装配应力装配应力初初应应力力1、静定问题无装配应力静定问题无装配应力。ABC122-8 热应力和初应力热应力和初应力在静定杆系中，这种误差本身只会使结构的在静定杆系中，这种误差本身只会使结构的几何形状略有改变，并不会在杆中产生附加几何形状略有改变，并不会在杆中产生附加的内力。的内力。在超静定杆系中，由于杆的变形受到约束，一般都会引在超静定杆系中，由于杆的变形受到约束，一般都会引起附加的内力，与之

44、相应的应力称为起附加的内力，与之相应的应力称为装配应力装配应力。装配应。装配应力是结构在荷载作用之前已经存在的应力，也称之为力是结构在荷载作用之前已经存在的应力，也称之为初初应力应力107材料力学材料力学 刘加一刘加一 几何方程几何方程解：解： 平衡方程平衡方程:=-=0sinsin21NNFFX=-+=0coscos321NNNFFFY13cos)(LL=-例例2-8-3 如图，如图，3号杆的尺寸误差为号杆的尺寸误差为 ，求各杆的装配内力。求各杆的装配内力。BAC12DA13A1N1N2N3AA13L2L1L2-8 热应力和初应力热应力和初应力108材料力学材料力学 刘加一刘加一cos)(3

45、3331111AELFAELFNN-=、物理方程及、物理方程及补充方程补充方程： 、解平衡方程和补充方程，得、解平衡方程和补充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELFFNN+= / cos21cos23311331133AEAEAELFN+=2-8 热应力和初应力热应力和初应力109材料力学材料力学 刘加一刘加一例题例题2-8-4 两端用刚性块连两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆接在一起的两根相同的钢杆1、 2（图（图a），其长度），其长度l =200 mm，直径直径d =10 mm。求将长度为。求将长度为200.11 mm，亦即，亦即 e=0.11 mm的铜

46、杆的铜杆3（图（图b）装配在）装配在与杆与杆1和杆和杆2对称的位置后对称的位置后（图（图c）各杆横截面上的应力。）各杆横截面上的应力。已知：铜杆已知：铜杆3的横截面为的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹的矩形，钢的弹性模量性模量E=210 GPa，铜的弹，铜的弹性模量性模量E3=100 GPa。2-8 热应力和初应力热应力和初应力110材料力学材料力学 刘加一刘加一(d)解解：02 01NN3=-=FFFx，变形相容条件（图变形相容条件（图c）为）为ell=+31利用物理关系得补充方程：利用物理关系得补充方程：eAElFEAlF=+33N3N1将补充方程与平衡方程联立求解得：将补充方程与平衡方程联立求解得：+=+=EAAElAeEFAEEAleEAFF211 21133333N332NN1，2-8 热应力和初应力热应力和初应力111材料力学材料力学 刘加一刘加一各杆横截面上的装配应力如下：各杆横截面上的装配应力如下：（压）拉MPa51.19)(MPa53.743N331N21=AFAF2-8 热应力和初应力热应力和初应力112材料力学材料力学 刘加一刘加一