变分法及其在最优控制中的应用(1)

1、一、泛函的定义 如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个 与之对应，那么就称变量J为依赖于函数x(t)的泛函，记为：J=Jx(t)。确定的值说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解为“函数的函数”。例1.1.1 函数的定积分10)( dttxJ是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。例1.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa)和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如图1-1所示。 当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ， x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点间的弧长为：A(ta

2、,xa)x(t)B(tb,xb)xot图11dtdtdxJbatt21例1.1.3 函数的不定积分 不是泛函。dxyt0)( 泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况，例如：10)()(dttytxJ从例1.1.2可以知道，连接A、B两点的曲线之弧长的泛函，其被积函数 是未知函数导数的函数。在一般情况下，被积函数是自变量t，未知函数x(t)及其导数 的函数。所以最简单的一类泛函可表示为： 求函数的极值时，微分或导数起着重要的作用。求泛函的极值时，变分起着类似的作用。我们将求泛函的极值问题称为变分问题，其相应的方法称为变分法。21x )(tx dtttxtxLtxJftt0),(),(

3、)()()()(0txtxtx（1.1.1）如图1-2所示。二、泛函宗量的变分 泛函Jx(t)的宗量是函数x(t)，其变分是指在同一函数类中的两个函数间的差：x(t)xot图12x0(t)x(t)t1t2三、泛函的连续性函数相近 当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值，即 x(t)-x0(t) , t1t t2 (1.1.2) 对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图1-3所示。x(t)xot图13x0(t)t1t2一阶相近 当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导数 和 之差的绝对值，即 t1

4、 t t2 (1.1.3) 都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的，如图1-4所示。)(tx )(0tx )()(, )()(00txtxtxtxx(t)xot图 1 4x0(t)t1t2注意：一阶相近的两个函数，必然是零阶相近，反之不成立。k阶接近 当 t1 t t2 (1.1.4) 都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k阶相近的。函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： （1.1.5）在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空

5、间）中，任意两个函数间的距离定义为： （1.1.6）)()(, )()(, )()()(0)(00txtxtxtxtxtxkk)()(max)(),(00txtxtxtxdbta)()(, )()(, )()(max)(),()(0)(000txtxtxtxtxtxtxtxdkkbta显然，式（1.1.5）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，而式（1.1.6）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。泛函的连续性 如果对于任意给定的正数，可以找到这样一个0，当 dx(t)，x0(t) （1.1.7） 时，存在 Jx(t)Jx0(t) (1.1.8) 那么，就说泛函J在点x0(t)处是连续的。 根据所

6、采用的函数之间距离定义的不同，是按式（1.1.5）还是式（1.1.6），其对应的泛函分别称为零阶连续泛函或k阶连续泛函。四、线性泛函 连续泛函如果满足下列条件： （1） Jx1(t)+ x2(t)= Jx1(t)+ Jx2(t) （2） Jcx(t)=c Jx(t)其中，c是任意常数，就称为线性泛函。例如21)()(sin)()(ttdttxtttxtxJ21)()()()()(ttdttxtqtxtptxJ2)()(ttxtxJ都满足上述两个条件，故均为线性泛函。五、泛函的变分如果连续泛函Jx(t)的增量可以表示为：（泰勒级数）)()()()(txJtxtxJtxJ)(),()(),(txt

7、xrtxtxL其中，Lx(t)，x(t)是关于x(t)的线性连续泛函，而rx(t)，x(t)是关于x(t)的高阶无穷小。 Lx(t)，x(t)称为泛函的变分，记为（1.1.9）)(),(txtxLJ（1.1.10）也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。当一个泛函具有变分时，即泛函的增量可以用式（1.1.9）来表示时，称该泛函是可微的。例如，泛函dttxtxJ)()(102的增量为：101022)()()(dttxdttxtxJ102)()()(2dttxtxtx10102)()()(2dttxdttxtx于是，其变分为：10)()(2dttxtxJ可以证明，泛函的变分是唯一的。因为，若泛函

8、的变分不是唯一的，则泛函的增量可以写为：)(),()(),()(),()(),(2211txtxrtxtxLtxtxrtxtxLJ)(),()(),()(),(21txtxLtxtxLtxtxL引理1.1.1 泛函Jx(t)的变分为：0)()(txtxJJ证明：如上所述，泛函Jx(t)的增量为：)()()(txJtxtxJJ)(),()(),(txtxrtxtxL其中，（0 1）是一个参变量。由于Lx(t)， x(t)是关于 x(t)的线性连续泛函，根据线性泛函的性质（2），有（1.1.11）)(),()(),(txtxLtxtxL又由于rx(t)， x(t)是关于 x(t)的高阶无穷小，所以

9、0)()()(),(lim)(),(lim00txtxtxtxrtxtxr利用上述两点结论，便得JtxtxJ00lim)()(根据偏微分的定义)()()(lim0txJtxtxJ)(),()(),(lim0txtxrtxtxL)(),(lim)(),(lim00txtxrtxtxL)(),(lim0txtxL)(),(txtxL因为泛函Jx(t)的变分为：)(),(txtxLJ所以0)()(txtxJJQED0)()(txtxJJ0102)()(dttxtxdttxtx0102)()(dttxtxtx010)()()(210)()(2dttxtx例1.1.4 求泛函 的变分。102)( dtt

10、x根据式（1.1.11），该泛函的变分为：0)()(txtxJJ例1.1.5 求泛函 的变分 fttdtttxtxLJ0),(),(根据式（1.1.11），所求泛函的变分为：00),()(),()(fttdtttxtxtxtxLdtttxtxtxtxLftt00),()(),()(dttxtxtxttxtxtxtxLtxtxtxttxtxtxtxLftt0)()()(),()(),()()()()(),()(),()(0fttdttxtxttxtxLtxtxttxtxL0)()(),(),()()(),(),(若设 222)()(),(),(ttxtxttxtxL则dttxtxtxtxJftt

11、0)()()()(2六、泛函的极值 如果泛函Jx(t)在函数空间中点x=x0(t)的邻域内，其增量为：0)()(0txJtxJJ就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极小值；如果泛函Jx(t)在函数空间中点x=x0(t)的邻域内，其增量为：0)()(0txJtxJJ就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极大值； x0(t)的邻域包含满足条件： 的所有点x(t)的球（即以x0(t) 为圆心，以为半径的球）。)(),(0txtxd) )()(max)(),(00txtxtxtxdbta)()(0txtx注意：所采用的函数间的距离的定义的不同，点 x0(t)的邻域内所包含的函数也不同。 若强极值若)

12、 )()(, )()(max)(),(000txtxtxtxtxtxdbta)()()()(00txtxtxtx弱极值 显然，如果泛函Jx(t)在点x0(t)处达到强极值，那么它在点x0(t)处也一定达到弱极值。反之不成立。定理1.1.1（必要条件）（必要条件） 若泛函Jx(t)是连续可微的，并且在点x0(t)处达到极值，则泛函在点x0(t)处的变分等于零，即0)(),(0txtxJ（1.1.12）证明： 对于任意给定的x(t)，Jx0(t)+ x(t)既是函数x(t)的泛函，又是变量的函数。 泛函Jx0(t)+ x(t)在x0(t)处达到极值，也可看成是函数Jx0(t)+ x(t)在 =0处

13、达到极值，所以函数Jx0(t)+ x(t)对变量的偏导数在 =0处应等于零，即0)()(00txtxJ而由式（1.1.11）有000)()()(),(txtxJtxtxJ比较上面两式，又考虑x(t)是任意给定的，所以，0)(),(0txtxJQED 从定理1.1.1的推证中可见，泛函达到强极值与弱极值的必要条件是相同的。应当指出：本节所讨论的定义、引理和定理，稍加变动就可以应用于含有多个未知函数的泛函：Jx1(t)， x2(t)， xn(t)拉格朗日（Lagrange）问题基本问题 (1.2.1)麦耶耳(Mayer)问题 (1.2.2)波尔扎（Bolza）问题 (1.2.3) 最优控制问题中，

14、根据性能指标的类型（积分型性能指标、终值型性能指标、复合型性能指标）的不同，分别对应了古典变分法中的三类基本问题。fttdtttxtxLtxJ0),(),()(),()(ffttxtxJfttffdtttxtxLttxtxJ0),(),(),()(固定端点的Lagrange问题问题描述：假定点A(t0,x0)和B(tf,xf)是所要寻求的泛函（1.2.1）的极值曲线x(t)的两个固定端点，如图1-5所示，其坐标为：ffxtxxtx)()(00（1.2.4）现在的问题是：从满足边界条件（1.2.4）的二阶可微的函数中，选择使泛函（1.2.1）达到极小值的函数x(t)。 解： 设x*(t)是使泛函

15、（1.2.1）达到极小值且满足边界条件（1.2.4）的极值条件。现用)()(*)(txtxtx表示满足边界条件（1.2.4）的极值曲线x*(t)的邻域曲线。其中（1.2.5）x(t)是泛函宗量x(t)的变分，(01)是一参变量。为使x(t)是满足边界条件（1.2.4）的极值曲线x*(t)的邻域曲线， x(t)应具有连续导数且满足条件： x(t0)= x(tf)=0 (1.2.6)于是，由式（1.2.5）得到)()(*)(txtxtx（1.2.7） 由于x*(t)是极值曲线，所以泛函（1.2.1）在极值曲线x*(t)上的变分等于零（定理1.1.1），即0J由引理1.1.1知，泛函的变分为0)()

16、(*txtxJJ（1.2.8）（1.2.9）将式（1.2.1）代入式（1.2.9），得0)()(*txtxJJ00),()(*),()(*fttdtttxtxtxtxLdtttxtxtxtxLftt00),()(*),()(*fttdttxtxttxtxLtxtxttxtxL0)()(),(*),(*)()(),(*),(*xLxLfttxxdttxLtxL0)()(1.2.10) 对式（1.2.10）右端第二项进行分部积分dttxLdtdtxLdttxLxttttxttxfff)()()()(000（1.2.12）将式（1.2.11）代入式（1.2.10），并考虑式（1.2.8）得ffttt

17、txxxtxLdttxLdtdL000)()()(利用条件（1.2.6），则上式变为（1.2.13）fttxxdttxLdtdL00)()(（1.2.11）考虑到泛函宗量的变分x(t)是任意的函数，不妨选择xxLdtdLtwtx)()(（1.2.14）其中w(t)是任一满足下列条件的函数：)(, 0)(020为某一函数ctttctttttwff将式（1.2.14）代入式（1.2.13），可得0)(20dtLdtdLtwfttxx由上式可见，一个非负的函数的定积分为零，只能是被积函数恒等于零，因此有0 xxLdtdL（1.2.15）将上式左端第二项展开，可得0 xxxxt xxLxLxLL （1

18、.2.16）欧拉(Euler)方程欧拉方程式中2222,xLLxxLLxtLLxxxxt x 若 时，欧拉方程是一个二阶微分方程。0 xxL 定理1.2.1 若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0和终端x(tf)= xf，则泛函fttdtttxtxLtxJ0),(),()(达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程0 xxLdtdL其中x(t)应有连续的二阶导数， 则至少应是二次连续可微的。),(),(ttxtxL几种特殊的欧拉方程（可以得到封闭形式的解）被积函数L不依赖于 ，即被积函数L不依赖于x，即 被积函数L不依赖于t，即 在这种情况下，欧拉方程的首次积分为 （1.2.17） 其

19、中c是待定的积分常数。实际上，将上式左边对t求全导数，有被积函数L 线性地依赖于 ，即 x ),(txLL ),(txLL),(xxLLcLxLx2()xxxxxxdLxLxLx LxxLdt0)(xxxxxLxLxLx 式（1.2.16）cLxLxx xtxtxL),(),( 对于向量空间的泛函，也存在着欧拉方程，不过是欧拉方程组（即向量欧拉方程）。定理1.2.2 在n维函数空间中，若极值曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T和终端X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是给定的，则泛函fttdtttXtX

20、LtXJ0),(),()(达到极值的必要条件是曲线X(t)满足向量欧拉方程0XXLdtdL其中X(t)应有连续的二阶导数，而 则至少应是二次连续可微的。),(),(ttXtXL（1.2.18）例1.2.1 求泛函 满足边界条件 的极值函数。2022212121)2()(),(dtxxxxtxtxJ1)2(, 0)0(, 1)2(, 0)0(2211xxxx解：由式（1.2.18）得：0022211211xxxxLdtdLxx 0022122122xxxxLdtdLxx )4(11xx 其特征方程为：014s特征根为：js, 1从而得tctcececxtctcececxttttcossincos

21、sin4321243211由给定的边界条件得1, 03421cccc于是得极值函数：ttxttxsin)(sin)(*2*1可以利用MATLAB符号工具箱求解，求解过程如下： syms x1 x2；s=dsolve(D2x1-x2=0,D2x2-x1=0,x1(0)=0,x1(pi/2)=1,x2(0)=0, x2(pi/2)=-1,t)；x1=s.x1x2=s.x2运行结果如下:x1 =sin(t)x1 =-sin(t)例1.2.2 最速降线(又称捷线)问题 所谓最速降线问题是:设在竖直平面内有两点A和B，它们不在同一条铅垂线上，现有一质点受重力的作用自较高的A点向较低的B点滑动，如果不考虑

22、各种阻力的影响，问应取怎样的路径，才能使所经历的时间最短？解：在A、B两点所在的竖直平面内选择 一坐标系，如图16所示。 A点为坐标原点 ，水平线为x轴，铅垂线为y轴。设质点的初速度为零，则由力学的知识可知，质点在重力的作用下，不考虑各种阻力的影响，从A点向B点下滑的速度的大小为gydtdl2（1.2.19）xoyA(0,0)B(xf,yf)dxdydl图16由图16得dxydydxdl2221)()(（1.2.20）将式（1.2.20)代入式（1.2.19）中，并变换，得dxgyydt212对上式两边进行积分，可得质点自点A(0，0)滑动到点B(xf，yf)所需的时间为dxgyyxytfx0

23、221)(（1.2.21） 设y=y(x)是连接点A(0，0)和点B(xf，yf)的任一光滑曲线,则最速降线问题的数学提法是:在XOY平面上确定一条满足边界条件ffyxyy)(, 0)0(（1.2.22）的极值曲线y=y(x)，使泛函dxgyyxyJfx0221)(（1.2.23）达到极小值。这时被积函数为：gyyL212不显含自变量x，由(1.2.17)知，它的首次积分为cygyygyyLyLy)1 (221222化简上式得212121,1gccycy这种方程宜于利用参数法求解，为此，令ctgy 于是，)2cos1 (2sin112121ccctgcy又由dcdcctgdcydydx)2co

24、s1 (sin2cossin21211对上式积分，得2121)2sin2(2)22sin(ccccx由边界条件y(0)知，c2=0，于是)2cos1 (2)2sin2(211cycx令2,211cr最后得)cos1 ()sin(ryrx 这是圆滚线的参数方程。式中r是滚动圆半径，其值由另一边界条件y(xf)=yf确定。所以，最速降线是一条圆滚线。当极值曲线x*(t)的端点变化时，要使泛函 达到极小值， x*(t)首先应当满足欧拉方程：fttttxtxLtxJ0),(),()(0 xxLdtdL若端点固定,可以利用端点条件:ffxtxxtx)()(00确定欧拉方程中的两个待定的积分常数。问题：若

25、端点可变，如何确定这两个积分常数？横截条件推导过程问题描述：假定极值曲线的始端A(t0，x0)是固定的，而终端B(tf，xf)是可变的，并沿着给定的曲线)()(ffttx（1.3.1）变动，如图17所示。现在的问题是需要确定一条从给定的点A(t0，x0)到给定的曲线(1.3.1)上的某一点B(tf，xf)的连续可微的曲线x(t) ，使得泛函fttttxtxLtxJ0),(),()(达到极小值。（1.3.2）txA(t0,x0)B(t*f,x*f)x*(t)x(t)(ft图17解：设x*(t)是泛函（1.3.2）的极值曲线。 x*(t)的邻域曲线可表示为：)()(*)()()(*)(txtxtx

26、txtxtx（1.3.3）（1.3.4）由图1-7可见，每一条邻域曲线x(t)都对应一个终端时刻tf ，设极值曲线x*(t)所对应的终端时刻为tf *，则邻域曲线x(t)所对应的终端时刻tf可以表示为：fffdttt*（1.3.5）将式（1.3.3）（1.3.5）代入式（1.3.2），得ffdtttdtttxtxtxtxLJ*0),()(),()(*0),()(),()(*fttdtttxtxtxtxLfffdtttdtttxtxtxtxL*),()(),()(*（1.3.6）根据泛函达到极值的必要条件0)()(0txtxJJ则有：0*0),()(),()(fttdtttxtxtxtxL0),

27、()(),()(0*fffdtttdtttxtxtxtxL（1.3.7）式（1.3.7）左边第一项相当于tf固定时的泛函的变分，按照上一节推导的结果可得0*0),()(),()(fttdtttxtxtxtxL*0*0)()()(ffttttxxxtxLdttxLdtdL（1.3.8）式（1.3.7）左边第二项先利用中值定理，然后求导，则得fttdtttdtttxtxLdtttxtxtxtxLffff*),(),(),()(),()(*0*（1.3.9）将式（1.3.8）和式（1.3.9）代入式（1.3.7），得0),(),()()()(*0*0*fttttttxxxdtttxtxLtxLdtt

28、xLdtdLfff考虑到欧拉方程和始端固定0)(, 00txLdtdLxx所以0),(),()(*fttfttxdtttxtxLtxLff（1.3.10）若x(t*f)与dtf互不相关，则由上式得00ffttttxLL（1.3.11）但是，终端点沿曲线（1.3.1）变动，所以x(t*f)与dtf相关。为了进一步简化式（1.3.10），应当求出x(t*f)与dtf之间的关系。 根据终端约束条件（1.3.1），应有)()()(*ffffffdttdttxdttx将上式对取偏导数，并令=0，利用式（1.3.4），整理得fffffffffdttxttxdtttxdttx)()()()()()(*将上式

29、代入式（1.3.10），可得0)(*fttxdtLxLf由于dtf是任意的，所以0)(*fttxLxL（1.3.12）横截条件定理1.3.1 若曲线x(t)由一给定的点(t0，x0)到给定的曲线x(tf)=(tf)上的某一点(tf，xf)，则泛函fttttxtxLtxJ0),(),()(达到极值的必要条件是， x(t)满足欧拉方程0 xxLdtdL和横截条件0)(*fttxLxL其中x(t)应有连续的二阶导数， 则至少应是二次连续可微的，而(t) 则应有连续的一阶导数。),(),(ttxtxL若极值曲线的始端不是固定的，并沿着曲线)()(00ttx(1.3.13)变动，则同样可以推导出始端的横

30、截条件0)(*0ttxLxL(1.3.14) 根据定理1.3.1和式（1.3.14），可得到端点可变时，Lagrange问题的解，除有欧拉方程外，还有横截条件：(1)始端、终端可变，即x(t0)=(t0)， x(tf)=(tf)，则横截条件为：0)(*0ttxLxL0)(*fttxLxL(2) 当t0、 tf 可变，而x(t0) 与x(tf)固定时，则横截条件为：*00,t tL*0ft tL(3)当t0、 tf 固定，而x(t0) 与x(tf)可变时，即始端与终端分别在t=t0、t=tf上滑动，则横截条件为：0*0ttxL0*fttxL定理1.3.1和以上几种情况的横截条件，都可以将其推广到

31、n维函数向量X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的泛函的情形。定理1.3.2 在n维函数空间中，若曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T是固定的，而终端X(tf)=x1(tf), x2(tf), xn(tf)T是可变的，且在曲面X(tf)=(tf)上变动，则泛函fttdtttXtXLtXJ0),(),()(达到极值的必要条件是，曲线X(t)满足向量欧拉方程0XXLdtdL其中X(t)应有连续的二阶导数，而 则至少应是二次连续可微的，而(t)=1(t)， 2(t)， n(t)T则应有连续的一阶导数。),(),(tt

32、XtXL和横截条件0)(*fttXTLXL 若曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端不是固定的，而是可变的，并在给定的曲面)()(00ttX上变动，其中 ，则同样可以推导出始端的横截条件为： Tntttt)(,),(),()(0020100)(*0ttXLXL例1.3.1 求t-x平面上由给定A(0,1)至给定直线x=2t的弧长最短的曲线方程。o1212txA(0,1)dsx*(t)图18解：由图18，弧长dtxdxdtds2221)()(根据题意，目标泛函应选为：dtxJft021这是一个始端固定，终端可变的泛函的变分问题。由于泛函的被积函数 中不显含x(t)，所以Eule

33、r方程为：21xL2112221101ctcxcccxcxxxxdtd由初始条件x(0)=1，得c2=1，从而有11tcx由横截条件（1.3.12），得01)1(122xxxx经整理得 ，所以c1=1。最优轨线方程为：1x 1)(* ttx最优轨线与给定直线垂直。泛函二阶变分推导过程： 给定泛函为其一阶变分为fttdtttxtxLtxJ0),(),()(0),()(),()(ttxtxtxtxJJdttxtxttxtxLtxtxttxtxLdtttxtxtxtxLdtttxtxtxtxLffftttttt000)()(),(),()()(),(),(),()(),()(),()(),()(00

34、（1.4.1）（1.4.2）而二阶变分为)(2JJdttxtxttxtxtxtxLtxtxttxtxtxtxLdttxtxttxtxtxtxLtxtxttxtxtxtxLttxtxtxtxJfftttt000)()(),()(),()()()(),()(),()()()(),()(),()()()(),()(),()(),()(),()(00dttxtxtxttxtxLtxtxttxtxLtxtxttxtxLtxttxtxLtxtxdttxtxttxtxLtxtxtxtxttxtxLtxtxttxtxLfftttt)()()(),(),()()(),(),()()(),(),()(),(),(

35、 )()()()(),(),()()()()(),(),(2)()(),(),(222222222222200（1.4.3） 于是，为使泛函（1.4.1）在曲线x(t)上达到极小（或极大）值，其一阶变分（1.4.2）应为零，而其二阶变分（1.4.3）必须为正（或负）。由此，得到下面的定理。定理1.4.1 若泛函fttdtttxtxLtxJ0),(),()(的一阶变分0J则Jx(t)达到极小值的充分条件是二阶型矩阵)(),(),()()(),(),()()(),(),()(),(),(222222txttxtxLtxtxttxtxLtxtxttxtxLtxttxtxL（1.4.4）是正定的或半正

36、定的；而Jx(t)达到极大值的充分条件是式（1.4.4）是负定的或半负定的。 定理1.4.1可以推广到含有n个未知函数的泛函的情形。一、回顾等式约束条件下函数极值问题的解法 设有函数),(yxfZ （1.5.2）现在需要求函数Z在约束条件为0),(yxg（1.5.1）情况下的极值。（1）消元法：从约束条件（1.5.2）中将y解出来。用x表示y，即 y=y(x)然后将y(x)代入f(x,y)中，得到 Z=fx, y(x) （1.5.3）这样，函数Z就只含有一个自变量x了，在等式（1.5.2）约束条件下的函数(1.5.1)的极值问题，就变成无约束条件的函数（1.5.3）的极值问题了。但是，消元法存

37、在两个问题：从方程（1.5.2）中将y解出来往往是很困难的；对x和y这两个自变量未能平等看待。（2）拉格朗日乘子法（Lagrange factor） 步骤如下： 作一个辅助函数 F=f(x,y)+g(x,y) 式中， 是待定的常数，称为拉格朗日乘子； 求辅助函数F的无条件极值，即令0, 0yFxF(1.5.4) 联立求解方程（1.5.2）和（1.5.4），求出驻点（ x0 ，y 0）和待定常数值; 判断（ x0 ，y 0）是否是函数f(x,y)的极值点。 拉格朗日乘子法对于求n元函数 y=f（x1，x2，xn）在多个约束方程 gi（x1，x2，xn） =0，i=1，2， ，m； m n条件下的

38、极值问题，同样适用。二、等式约束条件下泛函极值问题的解法求泛函fttdtttXtXLJ0),(),(（1.5.5）在约束方程为, 0),(),(0ftttttXtXf（1.5.6）和端点条件为ffXtXXtX)()(00（1.5.7） 利用拉格朗日乘子法求解上述等式约束条件下的泛函极值问题，其具体步骤为构造辅助泛函 其中(t)= 1(t), 2(t), m (t)T是m维待定向量乘子。于是，就将有约束条件（1.5.6）的泛函（1.5.5）的极值问题转化成无约束条件的泛函（1.5.8）的极值问题。令 (1.5.9) 写出向量形式的欧拉方程 （1.5.10） 情况下的极值曲线。这里 X(t)=x1

39、(t),x2(t),xn(t)T， f=f1,f2,fmT，m n。而 是x1(t),x2(t),xn(t)和t的标量函数。),(),(ttXtXLdtttXtXftttXtXLJfttT0),(),()(),(),(0（1.5.8）),(),()(),(),(ttXtXftttXtXLFT0XXFdtdF联立求解欧拉方程（1.5.10）和约束方程（1.5.6），可以得到n维向量函数X(t)和m维向量乘子 (t)。利用端点条件（1.5.7）确定欧拉方程解中的2n个积分常数，得到候选函数X(t)。检验候选函数X(t)是否使泛函（1.5.8）达到极值以及是极大值还是极小值。说明： 利用拉格朗日乘子

40、法求得的函数X(t)，如果（1.5.8）达到极值，就一定是原泛函（1.5.5）的极值函数。因为由约束方程（1.5.6）和欧拉方程（1.5.10）联立解出的向量函数X(t)和(t)一定满足约束方程（1.5.6），所以必有J0=J，另外，当将所解出的(t)代入辅助泛函（1.5.8）时，函数X(t)将使辅助泛函（1.5.8）达到无条件极值，因为函数X(t)是辅助泛函（1.5.8）的欧拉方程（1.5.10）的解。 上面的论述仅仅指出了利用拉格朗日乘子法求出的辅助泛函（1.5.8）的无条件的极值函数，一定是原泛函（1.5.5）在等式（1.5.6）约束条件下的极值函数。但是，却没有说明原泛函（1.5.5）

41、在等式（1.5.6）约束条件下的所有极值函数是否都能利用拉格朗日乘子法求出来？下面的定理将回答这个问题。定理1.5.1 如果n维向量函数 X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T （1.5.11）能使泛函fttdtttXtXLJ0),(),(（1.5.15）在等式约束, 0),(),(0ftttttXtXf（1.5.12）条件下达到极值，这里f是m维向量函数， m n，必存在适当的m维向量函数 (t)= 1(t), 2(t), m (t)T （1.5.14）使泛函dtttXtXftttXtXLJfttT0),(),()(),(),(0（1.5.13）达到无条件极值。即函数X(t)是泛函（

42、1.5.15）的欧拉方程0XXFdtdF的解，其中（1.5.16）( ),( ), ( ) ( ),( ), TFL X tX t tt f X tX t t而X(t)和(t)由欧拉方程（1.5.16）和约束方程（1.5.13）共同确定。说明： 定理1.5.1表明，泛函（1.5.12）在等式（1.5.13）约束条件下的极值函数X(t) ，同时也使泛函（1.5.15）达到无条件极值。这就进一步说明泛函（1.5.12）在等式（1.5.13）约束条件下的极值函数X(t) 都可通过拉格朗日乘子法求得。 如果不仅将X(t) ，而且连函数(t)在内，都看成是泛函（1.5.15）的宗量，那么，约束方程（1.

43、5.13）也可以看成是泛函（1.5.15）的欧拉方程。方程（1.5.13）和（1.5.16）共有n+m个方程，恰好可以解出n维和m维未知函数X(t) 和(t)。 当约束方程中（1.5.13）中的函数f不包括有 X(t)的导数 时，则式（1.5.13）便成为一种代数方程约束。定理1.5.1仍然成立。例1.5.1 已知受控系统的动态结构如图19所示。求最优控制u*(t)，使目标泛函202)(21dttxJ 取极小值。给定的边界条件为0)2(, 1)0(, 0)2(, 1)0(xxxxx(t)u(t)21s图19 双积分对象解：令)()(),()(21txtxtxtx则得系统的状态方程为：)()()

44、()(221tutxtxtx现在的目标泛函为202)(21dttuJ应用拉格朗日乘子法，构造辅助泛函（1.5.17）202122120)()()()()()()(21dttxtutxtxtttuJ令)()()()()()()(21221212txtuttxtxttuF则向量形式的欧拉方程为111)(0)(11cttFdtdFxx21221)(0)()(22ctctttFdtdFxx212)(0)()(ctctuttuFdtdFuu根据状态方程（1.5.17），得3221221221ctctcxctcx4322311212161ctctctcxxx利用边界条件，可得1, 1,27, 34321c

45、ccc所以，最优控制273)(* ttu 对于最优控制问题来说，当状态变量和控制变量均不受约束，即 X(t)Rn，U(t) Rm时，是个在等式约束条件下求泛函极值的变分问题，因此，可以利用在上一节中介绍的拉格朗日乘子法来求解。在这一节中，利用拉格朗日乘子法求解最优控制问题时，将引入哈密顿（Hamilton）函数，推导出几种典型的最优控制问题应满足的必要条件。1.6.1 拉格朗日问题的解问题1.6.1 给定系统状态方程),(),()(ttUtXftX(1.6.2)初始条件00)(XtX(1.6.1)终端条件：tf固定，X(tf)自由和性能泛函fttdtttUtXLJ0),(),(1.6.3)要求

46、从容许控制U(t) Rm中确定最优控制U*(t)，使系统（1.6.1）从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性能泛函（1.6.3）达到极小值。这是拉格朗日问题，又称为积分型最优控制问题。 解：将状态方程（1.6.1）改写为0)(),(),(tXttUtXf(1.6.4)于是，上述最优控制问题就变成为在微分方程（1.6.4）约束条件下求泛函（1.6.3）极值的变分问题。利用拉格朗日乘子法，引入n维拉格朗日乘子向量 (t)= 1(t), 2(t), n (t)T (t)称为协态变量，以便与状态变量相对应。 构造辅助泛函fttTdttXttUtXftttUtXLJ0)(),(),()

47、(),(),(0(1.6.5)dtttUttXtXFftt0),(),(),(),(其中，)(),(),()(),(),(),(),(),(),(tXttUtXftttUtXLttUttXtXFT(1.6.6)于是，求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）约束条件下的极值问题，就转变成为求泛函（1.6.5）的无约束条件的极值问题。定义哈密顿（Hamilton）函数为),(),()(),(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXtXHT(1.6.7)它是一标量函数，则式（1.6.6）变为)()(),(),(),(),(),(),(),(tXtttUttXHttUttX

48、tXFT)()(),(),(),(ttXttUttXHT 利用变分法可以写出辅助泛函（1.6.5）的欧拉方程(1.6.8)000UFdtdUFFdtdFXFdtdXF将式（1.6.8）代入上式，得0),(),()()(UHttUtXfHtXXHt（1.6.11）（1.6.10）（1.6.9） 协态方程（或共轭方程）状态方程规范方程（或正则方程）控制方程（1.6.12）初始状态为00)(XtX由于终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由，所以横截条件为 0fttXF考虑式（1.6.8），得0)(ft（1.6.13） 式（1.6.9）（1.6.13）就是式（1.6.1）（1.6.3）所给定的最优控

49、制问题的解应满足的必要条件。这些条件也可以由求辅助泛函J0对状态变量X(t)和控制变量U(t)的变分中推导出来。 联立求解规范方程（1.6.9）和（1.6.10）可以得到两个未知函数X(t)和 (t)，其一个边界在始端（1.6.12），另一个边界在终端（1.6.13），故称为混合边界问题或两点边界值问题。求解两点边界值问题步骤由控制方程（1.6.11）求得 U=UX(t)，(t)，t （1.6.14）将式（1.6.14）代入规范方程（1.6.9）和（1.6.10）消去其中的U(t)，得到 （1.6.15） （1.6.16） 利用边界条件（1.6.12）和（1.6.13）联立求解方程（1.6.1

50、5）和（1.6.16），可得唯一确定的解X(t)和(t)。将所求得的X(t)和(t)代入式（1.6.14）中，可求得相应的U(t)。,),(),(),()(ttttXUtXftX,),(),(),()(ttttXUtXHXt说明： （1）对于两点边界值问题，一般难以求得其解析解，通常需要采用数值计算方法求其数值解。 （2）利用引入哈密顿函数的方法求解拉格朗日型最优控制问题，是将求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）约束条件下对控制函数U(t)的条件极值问题转化为求哈密顿函数H对控制变量U(t)的无条件极值问题。这种方法称为哈密顿方法。定理1.6.1 设系统的状态方程 ),(),()(ttUt

51、XftX则为将系统从给定的初态00)(XtX转移到终端时刻 tf固定，终端状态X(tf)自由的某个终态，并使性能泛函fttdtttUtXLJ0),(),(达到极小值的最优控制应满足的必要条件是 （1）设U*(t)是最优控制， X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t) ，使得X(t)与(t) 满足规范方程),(),()(ttUtXfHtXXHt)(其中),(),()(),(),(ttUtXftttUtXLHT （2）边界条件为00)(XtX0)(ft （3）哈密顿函数H对控制变量U(t)（t0ttf）取极值，即0UH* 沿着最优控制和最

52、优轨线，哈密顿函数H对时间t求全导数，得UUHHXXHtHdtdHTTTUUHXHHHXHtHTTTtH若H不显含t时，则有 H(t)=常数 tt0，tf; 也就是说，当H不显含t时，哈密顿函数H是不依赖于t的常数。例1.6.1 已知 系统方程和边界条件为,2221uxxxx,1)0(1)0(21xx0) 1 (0) 1 (21xx求使性能泛函102)(21dttuJ为极小值的最优控制函数与最优轨线。 解：这是一个最小能量控制问题。其哈密顿函数为uxxuH22221221由控制方程02uUH得2u协态方程为01212解协态方程，得11c122212cecct于是teccu21由状态方程tecc

53、xxxx212221解得tteccecx2132214213121cectcecxtt利用边界条件0) 1 (, 0) 1 (, 1)0(, 1)0(2121xxxx求得积分常数为2309.11,0335. 5,5288.30,2979.194321cccc于是，最优控制与最优轨线分别为tetu5288.302979.19)(*2309.112644.152979.190335. 5)(*1ttetetxtteetx2644.152979.190335. 5)(*2可以利用MATLAB符号工具箱求解上述微分方程，程序如下：syms l1 l2 x1 x2; s=dsolve(D1l1=0,D1

54、l2=-l1-l2,D1x1=x2,D1x2=x2-l2,x1(0)=1, x2(0)=1,x1(1)=0,x2(1)=0,t)l1=s.l1, l2=s.l2,x1=s.x1,x2=s.x2运行结果为：s = l1: 1x1 sym l2: 1x1 sym x1: 1x1 sym x2: 1x1 syml1 =-2*exp(1)/(exp(1)-3)l2=2*exp(1)/(exp(1)-3)-2*exp(1)/(exp(1)-3)*exp(-t)-2*exp(-t)*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)x1=-exp(1)/(exp(1)-3)*exp(t)+2*exp

55、(1)/(exp(1)-3)*t+exp(1)/(exp(1)-3)*exp(-t)+exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)*exp(t)+exp(-t)*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)-2*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)+exp(t)x2=2*exp(1)/(exp(1)-3)-exp(1)/(exp(1)-3)*exp(-t)-exp(1)/(exp(1)-3)*exp(t)-exp(-t)*exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)+exp(1)/(exp(1)-1)/(exp(1)-3)*exp(t)+

56、exp(t) 例1.6.2 问题同例1.6.1，只是终端条件为x1(1)=0，x2(1)自由，求该最优控制问题。解：问题的规范方程和控制方程均与例1.6.1相同，但边界条件变为0) 1 (, 0) 1 (, 1)0(, 1)0(2121xxx由这些边界条件求得的积分常数为1623. 6,2880. 0,7486. 9,5863. 34321cccc于是，所求得的最优解为teu7486. 95863. 3*1623. 68743. 45863. 32880. 0*1ttetextteex8743. 45863. 32880. 0*2 由例1.6.1和例1.6.2可见，对于两个相同的最优控制问题，

57、只是部分终端状态不相同，所得到的最优解则完全不同。1.6.2 波尔扎问题的解问题1.6.2 给定系统状态方程),(),()(ttUtXftX(1.6.18)初始条件00)(XtX(1.6.17)和性能泛函fttffdtttUtXLttXJ0),(),(),(1.6.19)要求从容许控制U(t) Rm中确定最优控制U*(t)，使系统（1.6.17）从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性能泛函（1.6.19）达到极小值。这是波尔扎问题，又称为复合型最优控制问题。 由于给定的端点条件不同，上述最优控制问题的解将不同。下面根据三种不同的端点条件，分别予以讨论。 1. 终端时刻tf固定

58、，终端状态X(tf) 自由的情况 构造辅助泛函为：),(0ffttXJfttTTdttXtttUtXftttUtXL0)()(),(),()(),(),(若令哈密顿函数为),(),()(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXHHT（1.6.20）（1.6.21）并对式（1.6.20）积分号内第三项进行分部积分，则辅助泛函变为ffttTttTfftXtdttXtttUttXHttXJ00)()()()(),(),(),(),(0dtXtttUttXHtXttXtttXfttTTffTff0)()(),(),(),()()()()(),(00（1.6.22）求上式对状

59、态变量X(t)和控制变量U(t)的变分，得0000(),()()()( )( )()+-fTffTTffffTTTtTTtX ttJX ttX ttX tX tHHHXUXdtXU（1.6.24）由于泛函J0达到极值的必要条件为00J（1.6.23）由于X(t0)=0， X(tf)0， X(t)0， U(t)0，则由式（1.6.23）和（1.6.24）可得上述波尔扎型最优控制问题的解应满足的必要条件为00)(),(),()(0)(XtXttUtXfHtXUHXHt这些关系与拉格朗日型最优控制问题的完全相同，所不同的只是横截条件，即协态变量的终端值)(),()(fffftXttXt 2. 终端时

60、刻tf固定，终端状态X(tf) 受约束的情况 设终端状态受到如下等式的约束0),(ffttX（1.6.25）其中为r（当L=0，rn-1；当L0，rn）维向量，即Tr,21这时，终端状态X(tf)即不是固定的，也不是完全自由的，只能在终端流型（1.6.25）上变动。在构造辅助泛函时，应考虑终端约束条件（1.6.25），为此，需要引入待定的拉格朗日乘子向量Tr,21于是，所构造的辅助泛函为),(),(0ffTffttXttXJfttTTdttXtttUtXftttUtXL0)()(),(),()(),(),(考虑到哈密顿函数为),(),()(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtX

61、LttUttXHHT（1.6.26）并对式（1.6.26）积分号内第三项进行分部积分，则辅助泛函变为dtXHtXttXtttXttXdtXHtXtttXttXJfffttTTffTffTffttTttTffTff000)()()()(),(),()()(),(),(000求J0对状态变量X(t)和控制变量U(t)的变分，得0000(),(),()()()()()()( )( )(),(),()()fTTTffffffffTTtTTTfftTTffffffX ttX ttJX tX tX tX tHHtX ttX tXUXdtXUX ttX ttX tX t 000()()( )( )+-fTT

62、ffTTTtTTTttX tHHHtX tXUXdtXU考虑到 J0=0, X(t0)=0， X(tf)0， X(t)0， U(t)0，则得到所述最优控制问题的解应满足的必要条件00)(),(),()(0)(XtXttUtXfHtXUHXHt这些关系与1中的完全相同，所不同的是状态变量的终端约束条件和横截条件fttTfffXXtttX)(0),( 3. 终端时刻tf可变，终端状态X(tf) 受约束的情况 设终端状态X(tf)受到式（1.6.25）的约束条件。辅助泛函为),(),(0ffTffttXttXJfttTTdttXtttUtXftttUtXL0)()(),(),()(),(),(fft

63、tTttTdtXHttXttX0)(),(),(),(),()(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXHHT其中这时，不仅存在最优控制和最优轨线，还存在一个最优的终端时刻。最优控制和最优轨线应满足2中的必要条件，即XHtttUtXfHtX)(),(),()(（1.6.27）00)(0XtXUHfttTfffXXtttX)(0),( 为了确定最优的终端时刻，令式（1.6.27）对时间t的全导数等于零，即00fttdtdJ得0fttTTTTTXHtXXtXX代入0fttTttH（1.6.28）式（1.6.28）也称为横截条件。定理1.6.2 设系统状态方程为 ),()

64、,()(ttUtXftX则为将系统从给定的初态00)(XtX的某个终态X(tf)，其中 tf是可变的，并使性能泛函转移到满足约束条件0),(ffttXfttffdtttUtXLttXJ0),(),(),(达到极小值的最优控制应满足的必要条件。 （1）设U*(t)是最优控制， X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t) ，使得X(t)与(t)满足规范方程XHtttUtXfHtX)(),(),()(),(),()(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXHHT其中 （2）边界条件为00)(XtXfttTfffXX

65、tttX)(0),(0fttTttH （3）哈密顿函数H对控制变量取极值，即0UH 应当指出，对于波尔扎问题来说，哈密顿函数H的性质tHdtdH仍然成立。当H不显含t时H(t)=常数 tt0，tf例1.6.3 给定系统状态方程uxxxx22211)0(1)0(21xx初始条件：和性能泛函：102222121)1 () 1 (21dtuxxJ 解：问题的规范方程和控制方程均与例1.6.1相同。要求确定最优控制u*(t) ，使性能泛函J达到极小值。,12211ceccttttteccecxcectcecx2132421312121边界条件为：,1)0(1)0(21xx) 1 () 1 () 1 (

66、) 1 (2211xxteccu21将边界条件代入规范方程，得11212131412132134235 . 05 . 015 . 015 . 0cececcecccecceccccccc解得8449. 2,2888. 0,2674. 4,4225. 14321cccc于是，最优控制为：tetu2674. 44225. 1)(*例1.6.4 给定系统状态方程为：uxxx221初始条件：0)0(, 0)0(21xx终端约束条件：1) 1 () 1 (21 xx性能泛函：10221dtuJ需要确定最优控制u*(t)， 使性能泛函J达到极小值。解：写出哈密顿函数uxuH221221控制方程、规范方程为220uuuH2121221111)()(0ctctxHctxH32212212432231121212161ctctcxctcxctctctcxxx由边界条件0)0(, 0)0(21xx1) 1 () 1 (21 xx) 1 () 1 (,) 1 () 1 (2211xx解得五个未知数0, 0,762,734321cccc所以，最优控制为：7673)(*ttu最优轨线为：tttxtttx7614