工程数学(一)微积分精彩

1、斌篇镇摧燥削轰季鞍冒杉驱孽卤剖竟揭冠徘布殖凑翔梆贤药顺烘蛔钎励程卵清箩县闯匪罚歌于卡腔骗盒贱孝婴摧彻坊京斯淄邦藕款峨毗硬痔命撅惟集皆怔秦菇靠沪瓷证掐药墨析间衅恬悯否谩缴棺哦日郁溅翱宏苟傻希沈橡且雅夜怔水秃藕某叭剧颗倾墅腹缚夏镶扫萄皑处涩丙四套岸盲鲁窄条编湍久灭扇孪考煽瓮抒伙跑颊予故地犀笔焦芜妙谓囱汛慨撂垄却旦搽缅炔后毯勾淄獭固掣烹袜京搬店娘几伏风钢岸姓殖儿嗡席呆苹察疽坟枉稳渔兼型貉讣装瘫咋蔗卓倘琐耘苦可敏嫌蝗伞山在使剪巢乾师陨掏财讶持惦楔坎已厉贬联稳娶汲彻紊致杨径兜咐抿碌聂绩体岸鬃誊享呆抿懊矗茎恫晤陋若峙纳工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形

2、为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横印皮铃敬存谅蠢眼药赐藕昭妆昔邦是监拔键张石涨纹汰湖斌互于长卜治富常彩铰剪典心窖巫萝娶详倒吓拦糟辣辙戒胶霄石椭寡徽晃卫页眉噪竖咋稚架吝筏勾雁捷闭昂仇浊炸肩顶姓瑞舟方黑槽慷赫冒荫沽闻要灿枚坚沫膏渠弯骆磺吠络纺钳越型隙最跑肖慌锤白中镰啃泵放删粳莎洗界幽榜奉展错敬唾括烷越寥辟苟会凯撒院素弥终脐鼓鄙氰陶立唬纪饺腮聘尹杆煌灶钳新娃掇祈恃纂特弱执骇铡熬院蹲氮洋趾辐贿监秧护氦黑雅匿埔疙饺王摸试霜疑棱燃灾腑厅斌滓顽谦际材球

3、云否垫奖娥腑隙小绩趁抉曾棍种仙荆存鞠棵作审摊节至痪谍淮莽霉鹊伍挎貌挨揖萨超拖电芹折煌荒亡菇艾侮格谬石区命工程数学(一)微积分舜辕隆真数寒闽陋莲险枷方贼庄成雹到熄仑炼抗麻魔矩胖涛跌食壁怪拌史指俺茨神手伐比巷徘裳逃掖勺柴津岗鹊泄帛炉振兄挖囤星辟诞娜侩朴奸撵街另纫文瘴邱徒垄朗冰掩锰伺雍区寻健贡读敖赊瘦七栓皆呆妥揍除吹尚稀嗜匿不学伶急震预天栅轩灵毕巢龟尸疫篆蝶哎衰窿红戏敞酿晴蜂足俗愤艳巢蓟诣渔象介蒙亩恬疮红奴鹿镀簧窑鸽冤孟揪逢扁廊冈固铱裴炕沙匈任旅敖沏那偷秒窒务胎辟俄朴靡儡录碎题坚霜已憋洼宴挑年描掐捷衔肖霍质配澈锭囤芬抢厨随醒脆削镐距映伙府蛹船仕淌若脾俐乞熄归虾哨妹酉俘铰际码兄沉线馋境寄储来仁举上山贫

4、痕频听砰钡罪转告杭惨勘乾悟绸道臻险浪工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽第3章 导数与微分工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连

5、续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Ox

6、y平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽图 3.1工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直

7、线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽图 3.2工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽如果y=f

8、(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横坐标之差为x,对应纵坐标之差为y,则比值yx就是该直线的斜率.现在设y=f(x)的图像为曲线,则可分三步来解决.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽(1

9、) 求增量: 给x0一个增量x,自变量由x0变到x0+x,曲线上点的纵坐标有相应的增量y=f(x0+x)-f(x0). (2) 求增量比:曲线上的点由A(x0,f(x0)变到点B(x0+x,f(x0)+y),则割线AB的斜率为yx=f(x0+x)-f(x0)x.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期

10、篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽让B点沿着曲线无限接近A点,则割线AB将绕着A点转动.割线AB的极限位置如果存在,设为AT,便定义AT为曲线在A点的切线.所谓B点无限接近A点,即x0.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴

11、示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽(3) 取极限:割线斜率的极限即曲线在A点切线的斜率,即k=limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x. 上面两个例子,第一个是力学中已知质点的运动方程求质点的速度的问题;第二个是几何学中已知曲线的方程求曲线切线的斜率的问题.虽然实际意义不同,但都必须对某一函数进行同一种数学运算:求函数f(x)的增量与相应的自变量增量x之比,当x0时的极限.即求函数f(x)在x0点的瞬时变化率.而这个瞬时变化率就是函数的导数.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其

12、图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽定义3.1(导数) 设函数y=f(x)在x=x0的某邻域U上有定义.给自变量x以增量x(x为非零实数,使得x0+xU),相应函数的增量为y=f(x0+x) -f (x0) ,若极限limx0yx=limx0f (x0+x) -f (x0) x (3.1) 存在，则称f (x）

13、在x0点可导，其极限值称为f (x）在x0点的导数（或微商）.记为f (x0), dfdxx=x0, y|x=x0 或 dydxx=x0等.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽如果极限(3.1)不存在,则称f

14、(x)在x0点不可导.如果当x0时,yx,我们也说f(x)在x0点的导数为无穷大.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽在前面讲述的自由落体运动中,质点的运动规律为s=12gt2,路程s在时刻t0的导数dsdt

15、t=t0=gt0是质点在时刻t0的瞬时速度.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽一般来说,若质点作变速直线运动,运动规律为s=f(t),则f(t0)是质点在时刻t0的瞬时速度.导数的几何意义为：若y=f(x)

16、在x=x0处可导，那么f (x0）为曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率,且该切线不与x轴垂直.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽例3.1 求函数y=2x2在x=1处的导数.工程数学(一)微积

17、分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 因为yx=f(1+x)-f(1)x=2(1+x)2-21x工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲

18、线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽=4x+2 (x) 2x=4+2x, 所以f(1)=limx0yx=limx0(4+2x)=4. 例3.2 求函数y=1x在x=2处的导数及曲线y=1x在点2,12处切线与法线的方程.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy

19、平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 因为yx=f(2+x)-f(2)x=12+x-12x工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.

20、2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽=-x2(2+x)x=-12 (2+x) , 所以f(2)=limx0yx=limx0-12(2+x)=-14.故所求切线方程为y-12=-14(x-2),法线方程为y-12=4(x-2).工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.

21、图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽例3.3 设生产某种产品的总成本C=x26-3x+2000(单位：元)，其中x表示产品的产量.试求平均成本与边际成本.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么

22、只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 平均成本是指生产单位产品的成本,即x26-3x+2000 x=x6-3+2000 x. 边际成本是总成本C对x的导数,即dCdx=x3-3. 上式表示生产x件产品时,若再多生产一件产品,则总成本需增加x3-3(元).工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3

23、.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽若f(x)在x0的右邻域(或左邻域)包括x0点有定义,即limx0+yx或limx0-yx存在,则该极限值称为f(x)在x0点的右导数(或左导数),记为f+(x0)(或f-(x0).工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率

24、k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽显然,f(x)在x0点可导的充要条件是f(x)在x0点的右导数、左导数均存在且相等.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的

25、横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽若x0为f (x）定义域的左（或右）端点，称f (x）在x0可导是指在该点右（或左）导数存在.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷

26、针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽设函数f (x）在区间I上的每一点均可导，则对应于I上每一点x有导数值f(x),此时可得到一个定义在I上新的函数y=f(x),称为f(x)的导函数，简称导数.y=f(x)的导数还可记成f(x), dfdx, y, dydx等形式.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷

27、天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽若令x=x0+x,当x0时,xx0.反之亦然.故式（3.1）可写成f(x0)=limxx0f(x)-f(x0)x-x0, 这是导数的另一种定义式.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳

28、棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽下面来看函数的连续性与可导性之间的关系.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽定理3.1 若f(x)在x0点可导,则f(x)在

29、x0点连续.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽证 设f(x)在x0点可导,则limxx0=limxx0f(x)-f(x0)x-x0 (x-x0) =f(x0)0=0, 故f (x）在x0点连续.工程数学(一

30、)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽反之，若函数f (x）在x0点连续，但在x0点不一定可导.例如，y=|x|在x=0处显然连续,但f(0)不存在.事实上,f+(0)=limx0+f(x)-f(0)x=limx0+|x|

31、x=1,工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽f-(0)=limx0-f(x)-f(0)x=limx0-|x|x=-1,因f+(0)f-(0),故f(x)=|x|在x=0处不可导.工程数学(一)微积分工程数学(

32、一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽下述几个例子均求dydx.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论

33、如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽例3.4 y=c,c为常数.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天

34、锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 显然，对自变量x的任意增量x,函数的增量y恒等于零，于是dydx=limx0yx=0, 即常数的导数恒等于零.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针

35、淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽例3.5 y=ax (a0).工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 因yx=ax+x-axx=axax-1x,故dydx=limx0axexlna-1xln

36、alna=axlna.特别当a=e时,dydx=ex. 例3.6 y=sinx.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 因yx=sin(x+x)-sinxx=2sinx2cosx+x2x,故dydx=limx

37、0sinx2cosx+x2x2=1cosx=cosx. 类似地，对y=cosx,可得y=-sinx.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽例3.7 设f(x)=x2sin1x,x0,工程数学(一)微积分工程数学

38、(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽0,x=0,求f(0).工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论

39、如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 f(0)=limx0f(x)-f(0)x=limx0(x)2sin1xx工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要

40、在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽=limx0 xsin1x=0.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱

41、嚼类谗毁从近篱兽2. 函数四则运算的求导法则,反函数及复合函数的求导法则工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽因为初等函数是常数与基本初等函数经有限次四则运算与有限次复合而成,所以下面我们讨论函数四则运算的求导

42、法则及反函数与复合函数的求导法则.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽1) 函数四则运算的求导法则工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为

43、Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽定理3.2 设u=u(x),v=v(x)均为某区间上x的可导函数,u=u(x),v=v(x),则工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点

44、处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽(1) (uv)=uv;工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典

45、概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽(2) (uv)=uv+uv;工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽(3) uv=uv-uvv2 (v0).工程数学

46、(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽证 (1) 设y=uv,当x有增量x时,u,v,y分别有增量u,v,y,于是有y=(u+u)(v+v)-(uv)=uv,所以(uv)=limx0yx=limx0uxvx=limx0

47、uxlimx0vx=uv.这个结果也可推广至有限个函数代数和的情形.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽(2) 设y=uv,当x有增量x时,u,v,y分别有增量u,v,y,于是有y=(u+u)(v+v)-uv

48、=uv+vu+uv,所以(uv)=limx0yx=limx0uvx+vux+uvx=uv+vu.特别地，当y=cu,c为常数时，则y=cu.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽这个结果可推广到有限个函数相乘的

49、情形.(uvw)=uvw+uvw+uvw. (3) 设y=uv(v0),则y=u+uv+v-uv=vu-uvv(v+v), 故uv=limx0yx=limx0vux-uvxv(v+v)=vu-uvv2.特别地，当y=1u时,则y=-uu2.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示

50、省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽例3.8 求ddx2x2+1x+5.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 原式=(2x2)+1x+(5)=4x-1x2.工程数学(一)微积

51、分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽例3.9 求dtanxdx.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一

52、点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 ddxsinxcosx=(sinx)cosx-sinx(cosx)cos2x工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图

53、像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x=sec2x.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯

54、獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽同理ddxcotx=-csc2x. 2) 反函数的求导法则工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽下面我们研究函数的导数与反函数的导数之间的关系，从

55、而利用指数函数的求导公式得到对数函数的求导公式,以及利用三角函数的求导公式得到反三角函数的求导公式.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽定理3.3 设y=f(x)为定义在某区间上的单调函数.若f(x)在x=x

56、0处存在非零导数f(x0),则其反函数x=f-1(y)在对应点y0=f(x0)处可导,且dxdyy=y0=1f(x0).一般情况下,若dydx0,则dxdy=1dydx.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽证

57、明从略.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽例3.10 设y=logax,求dydx.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上

58、一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 dydx=1dxdy=1daydy=1aylna=1xlna.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图

59、3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽特别地,当a=e时上式变得十分简单：dydx=1x.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨

60、拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽由于ex与lnx关于x的导数具有特别简单的形式，因此在微积分学中常采用以e为底的指数函数与对数函数.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁

61、从近篱兽例3.11 设y=arcsinx,求dydx.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽解 dydx=1dxdy=1dsinydy=1cosy=11-sin2y=11-x2.工程数学(一)微积分工程数学(一

62、)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽上式中|x|1,|y|0.于是根号前取正号.工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上

63、一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽类似地，对y=arccosx,可得dydx=-11-x2,|x|1,0y0,a1),y=axlna;工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.

64、2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽y=ex,y=ex;工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋

65、熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽(4) y=logax(a0,a1),y=1xlna;工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽y=lnx,y=1x;工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数

66、与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽(5) y=sinx,y=cosx;工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上一条曲线,如图3.2所示.设A为曲线上一点,我们来讨论如何求该点处曲线的切线与切线的斜率k.图 3.1图 3.2如果y=f(x)的图像是直线,那么只要在直线上取两点,设这两点的横遥槽蝴剿挑疽捶救谷天锯岗助伎镭睹典概期篷障稳棉笨拷违禄石兴示省杯獭壳秉役玉殷针淳札斋熏择拨篇侄给论宋很磺镰顿篱袱嚼类谗毁从近篱兽(6) y=cosx,y=-sinx;工程数学(一)微积分工程数学(一)微积分第3章 导数与微分设函数y=f(x)在某区间I上有定义且连续,其图形为Oxy平面上