新人教版高中数学必修第二册第七章复数：7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

1、7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义基础过关练题组一复数的加、减运算 1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=()A.8iB.6C.6+8iD.6-8i2.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i3.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于()A.-3iB.3iC.3iD.4i4.设mR,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于()A.-1B.3C.12D.-1或35.若复数z1=1+3i,z2=-2+ai,且z1+z2=b+8i,z2-z1=-3+ci,则实数a=,b=,

2、c=.6.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.7.已知i为虚数单位,计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);(2)5i-(3+4i)-(-1+3i);(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR).深度解析题组二复数加、减运算的几何意义8.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是()9.(2020河南名校联盟高二期末)已知z为复数z的共轭复数,z+1=i+2z,则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.已知OA

3、=(5,-1),OB=(3,2),AB对应的复数为z,则z=()A.5-iB.3+2iC.-2+3iD.-2-3i11.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形12.已知z为复数,若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是.13.复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=2,则|z1-z2|=.深度解析14.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:(1)AO所对应的复数,BC所对应的复数;(

4、2)CA所对应的复数;(3)OB所对应的复数及OB的长度.能力提升练题组复数的加、减运算及其几何意义的综合应用 1.()在复平面内,O是原点,OA,OC,AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则BC对应的复数为()A.2+8iB.-6-6iC.4-4iD.-4+2i2.()ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,若复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点Z为ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.外心3.()如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(深度解析)A.1B.12C.2D.54.()若复数z=x+yi(x,y

5、R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.42D.165.(多选)()已知i为虚数单位,下列说法中正确的是()A.若复数z满足|z|=5,则复数z对应的点在以原点为圆心,5为半径的圆上B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8iC.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模D.复数z1对应的向量为OZ1,复数z2对应的向量为OZ2,若|z1+z2|=|z1-z2|,则OZ1OZ26.(多选)()已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是()A

6、.点P0的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为227.()若复数z满足z-1=cos +isin ,R,则|z|的最大值为.8.()已知xR,yR,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=,y=.9.(2020湖南怀化高二期末,)若zC,且z+2z=3+4i,则|z|=.10.()已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若OC=OA+OB(,R),则+的值是.11.(2019安徽合肥八中高二期末,)已知复数z的模为1,则|

7、z+2|的最大值为.12.()在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.(1)求AB,AC,BC对应的复数;(2)判断ABC的形状.13.(2020北京通州高一月考,)已知O为坐标原点,向量OZ1、OZ2分别对应复数z1、z2,且z1=3a+5+(10-a2)i,z2=21a+(2a-5)i(aR).若z1+z2是实数.(1)求实数a的值;(2)求以OZ1、OZ2为邻边的平行四边形的面积.答案全解全析基础过关练1.Bz1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.2.Dz=3-i-(i-3)=6-2i.3.B设z=a+bi(a,bR),则z+3i=a+bi+3

8、i=a+(b+3)i为纯虚数,a=0,b+30,又|z|=3,|b|=3,b=3,z=3i.4.Cz=(2m2+m-1)+(3-m2+2m)i.由题意,得2m2+m-1=0,3m2+2m0,解得m=12.5. 答案5;-1;2解析z1+z2=(1-2)+(3+a)i=-1+(3+a)i=b+8i,z2-z1=(-2-1)+(a-3)i=-3+(a-3)i=-3+ci,所以b=1,3+a=8,a-3=c,解得b=1,a=5,c=2.6.解析z1-z2=(3x-4y)+(y-2x)i-(-2x+y)+(x-3y)i=(3x-4y)-(-2x+y)+(y-2x)-(x-3y)i=(5x-5y)+(-

9、3x+4y)i=5-3i,所以5x-5y=5,-3x+4y=3,解得x=1,y=0,所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=2.7.解析(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.(2)5i-(3+4i)-(-1+3i)=5i-(4+i)=-4+4i.(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i.方法技巧把复数的代数形式看成关于“i”的多项式,则复数的加、减法类似于多项式的加、减法,只需“合并同类项”就可以了.8.A由题图知z=-2+i,则z+1=-1+i,

10、由复数的几何意义可知,A正确.9.A设z=a+bi(a,bR),则z=a-bi,代入z+1=i+2z可得a+1+bi=2a+(1-2b)i,所以a+1=2a,12b=b,解得a=1,b=13.故z=1+i3,所以z在复平面内对应的点为1,13,位于第一象限.故选A.10.D因为OA=(5,-1),OB=(3,2),所以AB=OB-OA=(-2,3),所以z=-2+3i,所以z=-2-3i.11.B复数z1对应向量OA,复数z2对应向量OB,|z1+z2|=|OA+OB|,|z1-z2|=|OA-OB|,依题意有|OA+OB|=|OA-OB|,所以以OA,OB为邻边的平行四边形是矩形,又|OA|

11、与|OB|不一定相等,所以AOB一定是直角三角形.故选B.12.答案1解析由|z-2|=|z+2|,即|z-2|=|z-(-2)|,知z对应的点在以(2,0)和(-2,0)为端点的线段的垂直平分线上,即虚轴上.|z-1|表示z对应的点与(1,0)的距离,|z-1|min=1.13.答案2解析解法一:由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=2,知z1,z2,z1+z2对应的点是边长为1的正方形的三个顶点,所以|z1-z2|是这个正方形的一条对角线长,所以|z1-z2|=2.解法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c

12、)+(b-d)i,由题意可得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,即(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+2ac+b2+d2+2bd=2,所以2ac+2bd=0,所以(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,所以|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=2.解法三:易知|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),将已知数值代入,可得|z1-z2|2=2,所以|z1-z2|=2.深度剖析设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则|z1+z2|2+|z1-z2|2=(a+c)2+(b+d)2+(a-c)

13、2+(b-d)2=2(a2+c2+b2+d2)=2(|z1|2+|z2|2).14.解析(1)AO=-OA,AO所对应的复数为-3-2i.BC=AO,BC所对应的复数为-3-2i.(2)CA=OA-OC,CA所对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)OB=OA+OC,OB所对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, |OB|=12+62=37.能力提升练1.CBC=OC-OB=OC-(OA+AB),BC对应的复数为3+2i -(-2+i+1+5i)=4-4i.2.D由题意知,点Z到ABC的三个顶点的距离相等,故z对应的点Z是ABC的外心.3.A设复数-i,i,-1-

14、i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,复数z在复平面内对应的点为Z,则Z1(0,-1),Z2(0,1),Z3(-1,-1).根据|z-z0|的几何意义,可知|z+i|+|z-i|=2表示点Z到点Z1(0,-1)和Z2(0,1)的距离之和为2,又因为|Z1Z2|=2,所以点Z在线段Z1Z2上.问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为Z3Z1Z1Z2,且|Z3Z1|=1,所以|z+i+1|min=1.知识拓展设复数z,z0在复平面内对应的点分别为A,B,则|z-z0|(z,z0C)的几何意义是点A到点B的距离.4.C由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=

15、|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y22x+2y=223=42,当且仅当x=2y=32时,2x+4y取得最小值42.5.ACD满足|z|=5的复数z对应的点在以原点为圆心,5为半径的圆上,A正确;设z=a+bi(a,bR),则|z|=a2+b2,由z+|z|=2+8i,得a+bi+a2+b2=2+8i,a+a2+b2=2,b=8,解得a=15,b=8,z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选ACD.

16、6.ACD复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,yR),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,整理得y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值,结合平面几何知识知D正确.故选ACD.7.答案2解析因为z-1=cos +isin ,所以z=(1+cos )+isin ,故|z|=(1+cos)2+sin2=2(1+cos)2,即|z|的最大值为2.8.答案6;1

17、1解析原式整理得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,x+4=y-1,x+y=3x-1,解得x=6,y=11.9.答案17解析设z=x+yi(x,yR),则z=x-yi,z+2z=3x-yi=3+4i,所以x=1,y=-4,所以z=1-4i,所以|z|=12+(4)2=17.10.答案1解析由题意得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1).由OC=OA+OB,得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),所以-+=3,2-=4,解得=1,=2,所以+=1.11.答案3解析设复数z对应的点为Z(x,y),因为复数z的模为1,所以点Z的轨迹是以原点O为圆

18、心,1为半径的圆,由于|z+2|的几何意义是圆上的点(x,y)到点P(-2,0)的距离,因此|z+2|的最大值为|OP|+1=2+1=3.12.解析(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,所以OA,OB,OC对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),所以OA=(1,0),OB=(2,1),OC=(-1,2).所以AB=OB-OA=(1,1),AC=OC-OA=(-2,2),BC=OC-OB=(-3,1),所以AB对应的复数为1+i,AC对应的复数为-2+2i,BC对应的复数为-3+i.(2)因为|AB|=1+1=2,|AC|=(-2)2+22=22,|BC|=(-3)2+12=10,所以|AB|2+|AC|2=10=|BC|2,又因为|AB|AC|,所以ABC是以角A为直角的直角三角形.13.解析(1)由题意可得z1=3a+5-(10-a2)i,又因为z2=21a+(2a-5)i,所以z1+z2=3a+5-(10-a2)i+21a+(2a-5)i=3a+5+21a+(a2+2a-15)i.因为z1+z2是实数,所以a2+2a-15=0,a+50,10,解得a=3.(2)由(1)可得z1=38+i,z2=-1+i,则点Z138,1,Z2(-1,1),因此,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积为|Z1Z2|1=118.